Метод конечных элементов

1 2 3

q(x)= q₀

Рис. 9. Разбиение стержня на элементы

Для отдельного конечного элемента матрица жесткости имеет вид:

, (2.6.1)

матрица преобразования нагрузки (грузовая матрица)-

, (2.6.2)

вектор внешних нагрузок:

. (2.6.3)

Матричное уравнение метода перемещений в конечноэлементной форме

. (2.6.4)

Здесь: матрица жесткости всей системы – [ K ], формирующаяся в соответствии с топологией системы; вектор неизвестных узловых перемещений – { U }; грузовой вектор системы -

, (2.6.5)

содержащий грузовую матрицу системы – [ B ] и вектор внешних нагрузок системы – { Q }.

Учитывая число участков (конечных элементов), запишем (2.6.4) для нашего примера в раскрытом виде:

. (2.6.6)

Умножая матрицу преобразования на вектор узловых значений нагрузки, перепишем (2.6.6) в виде:

(2.6.7)

Геометрическое граничное условие (u₁=0) учтем, обнуляя строку и столбец с общим диагональным элементом – множителем при u₁ (сам диагональный элемент при этом не обнуляется) и соответствующие элементы грузового вектора. Система (2.6.7) приобретет окончательный вид:

. (2.6.8)

Выполним прямой ход снизу:

–u₄ + u₅ = 2639455 𝛼⟹ u₅=u₄–+ 26,9455𝛼;

–u₃ +2u₄– u₅ 38,527𝛼⟹ u₄=u₃+ 65,4725 𝛼;

–u₂ + 2u₃– u₄ 21,876 𝛼⟹ u₃=u₂+87,3485 𝛼;

2u₂– u₃= 11,814𝛼⟹ u₂= 99,1625 𝛼. (2.6.7)

Выполним обратный ход, приводя к размерности точного решения

Осуществим переход к нормальным усилиям с помощью соотношения:

. (2.6.9)

Первый элемент:

.(2.6.10)

Второй элемент:

.(2.6.11)

Третий элемент:

. (2.6.12)

Четвертый элемент:

. (2.6.13)

Воспользуемся дифференцирующей матрицей

(2.6.14)

Результаты расчета представим в виде таблицы 2 и графиков (рис. 10,11).

Таблица 5

x	0	0,25	0,5	0,75	1,0
	0 (0)	4,132 (4,042)	7,771 (7,608)	10,499 (10,285)	11,622 (11,389)
	8,264* 8,757** (8,389)	7,278* 7,771** (7,709)	5,456* 6,367* (6,421)	2,246* 3,851** (4,064)	-* 0,641** (0)