Симметрическая разность

Симметрической разностью множеств  и  называется множество, которое обозначается  (иногда ) и определенное следующим образом:

.

Приведем графическую иллюстрацию операции симметрической разности двух множеств:

Пример. Записать с помощью операций над множествами выражение для множества, соответствующего заштрихованной области диаграммы:

►  или . ◄

Пример. С помощью графической интерпретации изобразить множество , если  образовано множествами ,  и :

.

► Изобразим множества ,  и  на диаграмме Эйлера-Венна, как показано на рисунке ниже.

Множество  есть объединение трех множеств, ,  и . Рассмотрим множество . Его элементами являются элементы множества , которые не принадлежат  и не принадлежат . Аналогично, множество  состоит из элементов , не принадлежащих  или . Элементы множества  – есть элементы , не принадлежащие ни , ни , ни . Таким образом, множество  на диаграмме Эйлера-Венна имеет вид (заштрихованным областям соответствует серый цвет):

                                 ◄

1.2. Задание.

Ниже приведены диаграммы Виенна. Представьте заштрихованную и отдельно незаштрихованную области максимально компактными аналитическими выражениями, в которых бы использовались минимальное количество логических операций и букв. Результаты проверьте по таблицам истинности.

1.3. Контрольные вопросы

1.3.1. Дайте определение конечного множества, элементов множества.

1.3.2. Какие существуют основные способы задания множества?

1.3.3. Какие множества называются равными? Что такое подмножество?

1.3.4. Назовите основные операции над множествами, какой наглядный инструмент используется для иллюстрации операций над множествами?

1.3.5. Докажите свойство если  и , то .

1.3.6. Перечислите свойства операций над множествами, докажите , .

1.3.7. Дайте определение прямому (декартовому) произведению множеств;

1.3.8. Записать с помощью операций над множествами выражение для множества, соответствующего закрашенной области диаграммы: