Математическая постановка задачи формирования граничных условий

 (Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка)

Существуют стандартные математические модели для ряда характерных физических процессов, которые сводятся к различным краевым задачам для линейных дифференциальных урав­нений второго порядка.

 

1. Классификация краевых задач. Как было показано в § 1.2, линейное дифференциальное уравнение второго порядка

Для постановки граничных условий, прежде всего необходимо определить область для которой применимо данное приближение. Часто эта область не совпадает со всем пространством в котором представляет интерес определение моделируемых параметров. Поэтому пространство входных параметров приходится приходиться разбивать на насколько отдельных подобластей, в каждой из которых задача решается независимо от других, а связь осуществляется только за счет согласования граничных условий. При этом обычно решения, полученные в пространстве одной из областей, становятся граничными условиями для другой. Наиболее простыми задачами с точки зрения получения решения являются задачи, где все функции определены со своими производными на всем интервале и на бесконечности плавно затухают. Для многих таких случаев можно воспользоваться специальными типами граничных условий, для которых в высшей математике[ 5] исследованы не только области, где решение существует и единственно, но и хорошо разработаны методы их решений. В данном пособии приведены наиболее распространенные из них, в применении к дифференциальным уравнениям второго порядка. При этом принято разделять условия накладываемые на зависимость процесса от времени, так называемые начальные, и на пространственной границе- граничные. Деление это несколько условно и в постановке задачи, в терминах обобщенных переменных часто теряет смысл.

 Таким образом, чтобы пол­ностью описать тот или иной физический процесс, можно, кроме самого урав­нения, описывающего этот процесс, за­дать начальное состояние этого процесса (начальные условия) и режим на границе той области, в которой происходит этот процесс (граничные условия). Математически это связанно с неединственностью решения дифференциальных уравнений. Действительно, даже для обыкновенных дифференциальных уравнений n -го порядка общее решение зависит от n произволь­ных постоянных. Для уравнений же в частных производных решение, вообще говоря, зависит от произвольных функций; например, общее решение уравнения  в классе функций, зависящих от двух переменных x, y имеет вид u(x,y)=f(y), где f - произвольная функция, непрерывная и дифференцируемая вплоть до второй производной.. Поэтому чтобы выделить решение, описывающее реальный физический процесс, необходимо задавать дополнительные условия.  В качестве таких дополнительных   условий  удобно выбирать следующие краевые условия:   начальные и конечные значения рассматриваемого процесса, и зависимости входных параметров от выходных на границах рассматриваемой области входных параметров. Не обязательно входными параметрами должны быть координаты в декартовой системе. Во многих задачах удобнее переходить к системам связанным с осью симметрии задачи. В этом случае количество уравнений в частных производных понижается на порядок степени симметрии. Наиболее распространенными из этих систем, являются сферическая, имеющая степень симметрии 2, полярная и цилиндрическая системы координат, имеющие степень симметрии 1. Уравнения в частных производных также необходимо перевести в соответствующую координатную систему, Методика перевода известна[ Теория поля ]. Для вышеперечисленных координатных систем, вид типовых уравнений второго порядка приведен в справочниках по математике, например[ Корн]   Иногда, входные параметры никак не связаны с пространственными координатами. Например, часто такими параметрами являются напряженность внешнего магнитного или электрического поля Не смотря на это, соответствующая задача называется краевой задачей. Различают, таким образом, следующие три основных тина краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка.

а) Задача Коши для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются начальные условия, область определения входных параметров G совпадает со всем пространством, граничные условия отсутствуют.

б) Краевая задача для уравнений эллиптического типа: задаются граничные условия на границе конечной области определения входных параметров S, а время процесса полагается определенным от нуля до бесконечности начальные условия, естественно, отсутствуют.

в) Смешанная задача для уравнений гиперболического и па­раболического типов- в которой  задаются  как начальные,  так  и граничные условия

Опишем подробнее постановку каждой из перечисленных краевых задач для рассматриваемых уравнений (1.89) – (1.91).

                                          (1.89)

которое,описывает процессы колебаний, уравнение

                    (1.90)

кописывает процессы диффузии и, наконец, уравнение

                                           (1.91)

кописывает соответствующие стационарные процессы.

 

 

2. Задача Коши. Для уравнения колебаний (1.89) (гиперболи­ческий тип) задача Коши ставится следующим образом: найти функ­цию u(x,t) класса C²(t > 0) Ç C^l(t ³0), удовлетворяющую уравне­нию (1.89) в полупространстве t > 0 и начальным условиям при

t = +0

                             (1.92)

При этом необходимо, чтобы FÎC(t > 0), u₀ÎС¹(Rⁿ), u₁ÎС(Rⁿ).

Для уравнения диффузии (1.90) (параболический тип) задача Коши ставится так: найти функцию u(x,t) класса С²(t > 0)Ç C(t ³ 0), удов­летворяющую уравнению (1.90) в полупространстве t > 0 и начальному условию при t = +0

                                (1.93)

При этом необходимо, чтобы FÎC(t > 0), u₀ÎС(Rⁿ),

Приведенная постановка задачи Коши допускает следующее обобщение. Даны квазилинейное дифференциальное уравнение вто­рого порядка гиперболического типа:

               (1.94)

кусочно-гладкая поверхность S= {t= s(x)} и функции u₀ и u₁ на S (данные Коши). Задача Коши для уравнения (1.94) состоит в нахожде­нии решения u(x,t), определенного в некоторой части области t>s(x), примыкающей к поверхности S, и удовлетворяющего на S краевым условиям:

                                          (1.95)

где n — нормаль к S, направленная в сторону возрастающих t (рис.9).

В задаче Коши (1.94), (1.95)важно, что поверхность S ни в одной точке не касается характеристической поверхности (см. §1.3, п. 3) уравнения (1.94). В противном случае задача Коши может или вовсе не иметь решения, или иметь неединственное решение.

                              (1.97)

 

.  Еще две краевые задачи,  достаточно распространены при решении прикладных задач.

 Это- Задача Гурса. Пусть дано линейное дифференциальное урав­нение гиперболического типа с двумя независимыми переменными в каноническом виде (см. § 1.3, п. 4):

                        (1.98)

с непрерывными коэффициентами a, b и с в замкнутом прямоугольнике:

Требуется найти функцию и(х,у) класса  удовлетворяющую уравнению (1.98) в прямоугольнике П и принимающую на его сторонах  (рис. 1.4) заданные значения:

                                                      (1.99)

 

Рис. 1.4

 

При этом должны быть выполнены условия гладкости:

и условие согласованности

Отметим, что в задаче Гурса задается одно краевое условие ив двух пересекающихся характеристиках уравнения (1.98).

И Задача Трикоми для уравнения Чаплыгина.

Уравнение Чап­лыгина имеет вид:

                                             (1.100)

где

При уравнение (1.100) превращается в уравнение Трикоми (см. § 1.3, п. 5),

Рис. 1.5

Пусть односвязная область G в плоскости (x, у) разделена параболической линией у = 0 уравнениями Трикоми на две части: эллиптическую G₁(y > 0) и гиперболическую G₂(y < 0). Предположим, что область g₁ в у > 0 ограничена кусочно-гладкой кривой So, которая оканчивается в точ­ках x₁ и х₂, х₁ < х₂, на оси x, a область G₂ в у < 0 ограничена двумя пересекающимися характеристиками S₁ и S₂ уравнения (1.100) (ср. §1.3, п. 5), проходящими соответственно через точки х₁ и x₂ на оси х (рис. 1.5).

Требуется найти функцию и(х,у) класса  удовлетворяющую уравнению (1.100) в областях g₁ и G₂ и принимающую на дуге So и на одной из характеристик, например, на S₁, заданные значения:

                                                 (1.101)

При этом необходимо, чтобы  

 

6. Корректность постановок задач математической физики. Так как задачи математической физики представляют собой математические модели реальных физических процессов, то их постановки должны удовлетворять следующим естественным требованиям.

а) Решение должно существовать в каком-либо классе функций M₁.

б) Решение должно быть единственным в каком-либо классе функций М₂.

в) Решение должно непрерывно зависеть от данных задачи (на­чальных и граничных данных, свободного члена, коэффициентов уравнения и т. д.).

Непрерывная зависимость решения и от данных задачи D означает следующее: пусть последовательность данных D_k, k = 1,2,..., в каком-то смысле стремится к D, k → ∞, и и_k, k= 1,2,..., — соответствующие решения задачи; тогда должно быть u_k → u, k → ∞ в смысле надлежащим образом выбранной сходимости. Например, пусть задача приводится к уравнению Lu = F, где L — линейный оператор, переводящий М в N, где М и N — линейные нормированные пространства. В этом случае непрерывная зависимость решения и от свободного члена F будет обеспечена, если оператор L-^l существует и ограничен из N в М (см. §1.1, пп.8,9). Требование непрерывной зависимости решения обусловливается тем обстоятельством, что физические данные, как правило, определяются из эксперимента приближению, и поэтому нужно быть уверенным в том, что решение задачи в рамках выбранной математической модели не будет существенно зависеть от погрешностей измерений.

Задача, удовлетворяющая перечисленным требованиям, называется корректно поставленной (по Адамару), а множество функций M₁∩M₂ называется классом корректности. Задача, не удовлетворяющая хотя бы одному из условий а) - в), называется некорректно поставленной.

К некорректно поставленным задачам часто приводят обратные задачи математической физики: по некоторой информации о решение прямой задачи восстановить некоторые неизвестные физические величины, определяющие эту задачу (источники, краевые условия, коэффициенты уравнения и т.д.).

 

 

Примеры краевых задач

 Приведем несколько распространенных примеров постановки краевых задач

Примеры  для уравнений теплопрводности;

а) Если на границе S поддерживается заданное распределение температуры  , то

                                                      (14)

б) Если на S поддерживается заданный поток тепла , то

                                             (15)

в) Если на S происходит теплообмен согласно закону Нью­тона, то

                                         (16)

 где h - коэффициент теплообмена,  - температура окружающей среды.

 

Примеры для уравнений колебаний:

а) Если конец,to струны или стержня движется по закону , то

.

б) Если на правый конец  струны действует заданная сила , то

Действительно, в этом случае

 

в) Если правый конец стержня закреплен упруго и

- ко­эффициент жестокости закрепления, то

в соответствии с законом Гука.

 

Таким образом, система уравнений в частных производных вместе с краевыми условиями представляет математический аналог или модель реального процесса, исследование которого необходимо нам для решения поставленной задачи.