Е. Элементы вариационного исчисления

А. Уравнения первого порядка и уравнения высших порядков.

1. Основные определения.

2. Основные интегрируемые типы уравнений 1-го порядка: уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, линейные уравнения первого порядка, уравнения Бернулли, уравнения Риккати, уравнения в полных дифференциалах и интегрирующий множитель.

3. Теорема Коши существования и единственности решения уравнения.

4. Теорема Коши существования и единственности решения системы уравнений.

5. Особые точки, особые решения.

6. Уравнения, неразрешенные относительно производной. Уравнения Лагранжа и Клеро.

7. Теорема существования и единственности решений уравнений, не разрешенных относительно производной.

8. Дифференциальные уравнения высших порядков. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка, однородные и неоднородные.

9.  Нахождение частного решения методом вариации произвольных постоянных.

10. Метод Коши нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения.

11. Формула Остроградского-Лиувилля.

11. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

12. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.

13. Уравнения Эйлера.

14. Краевые задачи. Приведение линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с непостоянными коэффициентами к самосопряженному виду.

15. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля и их свойства. Теорема Стеклова.

16. Функция Грина краевой задачи и её смысл.

 

В. Системы дифференциальных  уравнений.

1. Основные понятия и сведение системы к одному уравнению высшего порядка.

2. Интегрирование систем дифференциальных уравнений путем нахождения интегрируемых комбинаций. Первый интеграл системы.

3. Системы линейных однородных дифференциальных уравнений.

4. Метод вариации постоянных.

5. Системы однородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

 

С. Теория устойчивости.

1. Основные определения и понятия теории устойчивости. Тривиальное решение и его устойчивость по Ляпунову.

2. Простейшие типы точек покоя для однородной системы двух уравнений с двумя неизвестными и их устойчивость.

3. Теоремы  Ляпунова А. М. об устойчивости решений

4. Исследования на устойчивость по первому приближению. Теорема Гурвица отрицательности действительных частей всех корней полинома с действительными коэффициентами.

 

D. Дифференциальные уравнения в частных производных  1-го порядка.

1. Основные определения. Теорема Коши-Ковалевской. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных.

2. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных в трёхмерном пространстве. Векторные линии и векторные поверхности и их связь с дифференциальными уравнениями в частных производных.

3. Линейные однородные уравнения в частных производных общего вида. Теорема об общем решении таких уравнений.

4. Линейные неоднородные уравнения в частных производных общего вида.

 

Е.  Элементы вариационного исчисления.

1. Линейные нормированные пространства. Близость кривых. Основная лемма вариационного исчисления.

2. Функционал в линейном нормированном пространстве. Первая вариация.

3. Функционалы вида  и вида . Уравнения Лагранжа-Эйлера.

4. Функционалы вида  и вида .

5. Функционалы, зависящие от функций многих переменных. Уравнения Остроградского-Эйлера.

6. Вариационные задачи на условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

7. Достаточные условия экстремум для простейшего функционала. Условие Якоби. Функция Вейерштрасса.

8. Вариационные задачи с подвижными границами для простейшего функционала. Условия трансверсальности.

9. Вариационные принципы физики.