Запись гармонических колебаний в комплексной форме

Рассмотрим в комплексной плоскости радиус- вектор постоянной длины Конец вектора при изменении параметра t (в данном случае t - время) описывает окружность радиуса с центром в начале координат (рис.7)

Рис.7

Пусть угол ψ, образованный вектором и осью , выражается так: Величина называется угловой скоростью вращения вектора . Проекции вектора на оси и

, . (7)

Выражения (7) суть решения уравнения (4).

Рассмотрим комплексную величину

Или

(8)

В декартовой системе координат действительную часть комплексного числа обычно откладывают по оси абсцисс, а мнимую - по оси ординат (см. рис.7). Следовательно, любое комплексное число можно представить в виде вектора A на комплексной плоскости, проведенного из начала координат в точку с координатами {x; y}.

Таким образом, решения уравнения гармонических колебаний (4) можно рассматривать как проекции вектора на оси и , вращающегося с угловой скоростью при начальной фазе

Пользуясь формулой Эйлера

e^iα= cos α +i·sin α,

где i = (-1)^1/2 - мнимая единица, выражение (8) можно переписать так:

(9)

Мнимая и действительная части выражения (9) являются решениями уравнения (4). Выражение (9) называется комплексным решением уравнения (4). Перепишем выражение (9) так:

. (10)

Выражение называют комплексной амплитудой. Обозначим ее через . Тогда комплексное решение (10) перепишется так:

. (11)

4) Пусть . В этом случае корни характеристического уравнения – комплексные числа

где

Общий интеграл имеет вид

(12)

Или

(13)

Здесь в качестве амплитуды приходится рассматривать величину , зависящую от времени. Так как , то она стремится к нулю при , то есть здесь мы имеем дело с затухающими колебаниями. График затухающих колебаний изображен на рис.8.