Энергия гармонических колебаний

Пусть гармонический осциллятор (ГО) колеблется по закону:

                                          

Полная энергия колебаний ГО равна:

                                                                                           (11)

                                     (12)

Потенциальная энергия осциллятора:                                                

                                                                                      (13)

Получаем (с учетом ):

                                                            (14)

Тогда:

               

или:

                                                                                          (15)

Т.о., полная энергия гармонического колебания пропорциональна квадрату амплитуды и постоянна во все время колебания, как это следует из закона сохранения механической энергии. При этом кинетическая и потенциальная энергия непрерывно меняются с течением времени, переходя друг в друга.

Средние за период значения кинетической и потенциальной энергии одинаковы и равны:

                                                                           (16)

т.к. средние за период значения квадрата синуса и квадрата косинуса равны 1/2.

Физический маятник.

    Физическим маятником называют всякое абсолютно твердое тело, способное вращаться вокруг неподвижной оси, не проходящей через центр тяжести. Колебания физического маятника происходят под действием составляющей  силы тяжести .

Знак «-» берется потому, что сила  стремится вернуть маятник в положение равновесия. Сила  будет квазиупругой, т.е. пропорциональной смещению, только при малых углах отклонения , когда  и                                                 (17)

Эта сила создает вращающий момент  относительно оси вращения, проходящей через точку подвеса O перпендикулярно плоскости чертежа, равный: 

                                                                             (18)

R – расстояние от точки подвеса до центра тяжести C маятника.

    Запишем уравнение вращательного движения относительно оси вращения:

                 или                                        (19)

где I – момент инерции маятника относительно оси вращения

 - угловое ускорение.

Разделив (19) на I, получим дифференциальное уравнение малых колебаний физического маятника:

                                                                                   (20)

Из него следует, что частота колебаний физического маятника:

                                                                                         (21)

а период колебаний:

                                                                                       (22)

Приведенной длиной физического маятника называется длина такого математического маятника, который колеблется синхронно с физическим. Из условия синхронности , где , найдем, что .