Разработка математического алгоритма

Задание

Разработать алгоритм и программу на языке С++ вычисления площади, ограниченной двумя кривыми, заданными вариантом индивидуального задания дляинтервала, определяемого пользователем в диалоговом режиме.Также в диалоговом окне предусмотреть поля ввода значений коэффициентов функций: a, b, c,d.Интерфейс программыразработать с использованием MFC. Предусмотреть проверку ввода данных на корректностьи графическое отображение заданных функций. Предусмотреть в программе вызов справки.

* Дополнительное (необязательное) задание: реализовать графическуювизуализацию графиков функции, соответствующих варианту индивидуального задания, сотображением области, площадь которой необходимо вычислить.

Вариант задания (A3B9C7D18E3) представлен на таблице 1.

Таблица 1 – Вариант индивидуального задания

 

 

Основание системысчисления входных данных	Основание системы счисления выходных данных	Функция 1	Функция 2	Метод интегрирования
A	B	C	D	E
5	16	y=	y=asin(bx)-ecos(dx)	Симпсона

 

 

Введение

В ходе данной работы требуется выполнить вычисления площадей методом Симпсона. Метод Симпсона – это метод численного интегрирования, основанный на том, что на частичном промежуткедуга некоторой параболы в общем случае теснее прилегает кривой y = f(x), чем хорда,соединяющая концы дуги этой кривой (метод трапеций).

Формула Симпсона (также Ньютона-Симпсона) относится к приёмам численного интегрирования. Получила название в честь британского математикаТомаса Симпсона (1710—1761).
    Суть метода заключается в приближении графика функции на отрезке параболой. Метод Симпсона имеет алгебраический порядок точности 3.

Алгебраический порядок точности численного метода (порядок точности численного метода, степень точности численного метода, порядок точности, степень точности) — наибольшая степень полинома, для которой численный метод даёт точное решение задачи.
    Другое определение: говорят, что численный метод имеет порядок точности d, если его остаток равен нулю для любого полинома степени d, но не равен нулю для полинома степени d+1.

Численное интегрирование — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определённого интеграла.

 

 

Разработка алгоритма

Разработка математического алгоритма.

Математический алгоритм представляет собой понятия и формулы, которые используются в работе, поэтому рационально будет его разделить на два подраздела. Первый подраздел включает себя алгоритм перевода из одной системы счисления (далее с.с.) в другую с.с.. Второй подраздел включает в себя алгоритм нахождения площади, ограниченной двумя графиками и границами нахождения площади по оси 0x.

1.1.1 Алгоритм перевода из одной системы счисления в другую.

Исходя из варианта индивидуального задания было решено производить перевод вводимых данных из начальной с.с. с основанием 5 в систему с основанием 10, далее ответ, полученный в результате вычислений требуется вывести в с.с. с основанием 16. 

При переводе числа из какой-либо с.с. в десятичную, числонадо представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.

Рассмотрим пример перевода целого числа 33412₅:

33412₅=2*5⁰+1*5¹+4*5²+3*5³+3*5⁴=2357₁₀

 

Для перевода рациональных чисел требуется совместить перевод целой части и перевод части числа после запятой.

В данной работе, с целью повышения точности выводимого ответа, используется библиотечная функция форматирования численных значений из одной с.с. в другую, однако при отсутствии таковой использовался бы следующий алгоритм: 

Рассмотрим пример перевода рационального числа 0,21₁₀в шестнадцатеричную систему счисления:

0,	2100 * 16
3	3600 * 16
5	7600

Получается, что 0,21₁₀ = 0,36₁₆

Часть переводимого числа после запятой переводится из 10 с.с. в другую при помощи последовательного умножения на основание последней с “собиранием целых частей”. Полученные при умножении целые части собираются, но не участвуют в следующих операциях. Умножаются только дробные. Если исходное число больше 1, то целая и дробная части переводятся отдельно, а потом “собираются”.

 

1.1.2 Площадь фигуры, ограниченной одним и более графиками.

Вычисление площади фигуры, ограниченной двумя графиками-сводится к задаче нахождения интеграла функции-сочетания двух ограничивающих её функций, который и будет равен искомой площади. Для достижения большей точности используется метод парабол (Симпсона).

Разделим введенный пользователем диапазон [A;B] на заданное четное количество отрезков N.

Длина данного отрезка , точками деления будут x₀=A, x₁, x₂,…x_n-2, x_n-1, x_n=B, а y₀, y₁, y₂, …y_n-2­, y_n-1, y_n – соответствующие значения подынтегральных функций на отрезке [A;B].

Применяя малую формулу Симпсона найдем площади криволинейных трапеций для каждой пары получившихся отрезков:

 

……………………………

	(1)

Тогда

(2)

Заметим, что во всех выражениях I₁,I₂, …I_n/2 первый множитель равен :

………………

Сделав замену по формулам (2), вынося общий множитель за скобку и группируя слагаемые в (1) получаем «большую» формулу Симпсона, которая имеет вид:

 

(3)

Конечный вид формулы можно записать следующим образом:

(4)

где , , , .

Для расчета площади фигуры ограниченной двумя функциями необходимо найти модуль разности функций в каждой точке и проинтегрировать:

(5)