Пересечение поверхности вращения плоскостью общего положения

 

Построение проекций линии пересечения поверхности вращения плоскостью общего положения проводят, используя способ вспомогательных секущих плоскостей или используя метод замены плоскостей, что упрощает построения.

Рассмотрим задачу.

Требуется построить проекции линии пересечения сферы плоскостью общего положения α.

Рис. 5

 

На рисунке 5 показано решение данной задачи с помощью замены плоскостей проекций. Систему π ₁, π ₂заменили на систему π ₁, π ₃. Новая фронтальная плоскость введена перпендикулярно к плоскости проекций π ₁ и заданной плоскости α. В новой системе плоскостей плоскость α становится проецирующей, а это означает, что будет известна проекция линии пересечения на новой фронтальной плоскости π ₃, а далее решение задачи проводится по методике, рассмотренной на рисунке 174.

 

Виды фигур сечения конуса, цилиндра, сферы, тора

 

В зависимости от положения секущей плоскости, в сечении конической поверхности можно получить следующие виды фигур сечения:

а) если плоскость пересекает все образующие конуса, то фигурой сечения будет эллипс (рис.3); в том случае, когда конус пересекается плоскостью параллельной его основанию, фигурой сечения будет – окружность, которая может вырождаться в точку, если секущая плоскость будет проходить через вершину конуса;

б) если секущая плоскость параллельна одной образующей конуса, то фигура сечения будет параболой;

 В частном случае, если секущая плоскость касательная к поверхности конуса, то сечение вырождается в прямую.

в) если секущая плоскость параллельна двум образующим конуса, то фигура сечения будет гиперболой.

В частном случае, если секущая плоскость проходит через ось конуса, фигурой сечения будет треугольник (две стороны которого будут образующие конуса).

В сечении цилиндра вращения плоскостью получаются различные фигуры:

а) круг, если секущая плоскость параллельна основанию;

б) прямоугольник, если секущая плоскость параллельна оси цилиндра;

в) эллипс, если секущая плоскость наклонна к оси цилиндра.

Для сферы, как бы ни была направлена секущая плоскость, она пересекает её по окружности, которая в зависимости от положения секущей плоскости по отношению к плоскости проекций, проецируется в виде отрезка прямой, в виде эллипса или в виде окружности.

Тор (имеется в виду открытый тор) имеет две системы круговых сечений:

а) в плоскостях, проходящих через его ось;

б) в плоскостях, перпендикулярных к его оси.

Схема построения проекций фигур сечения тора плоскостью аналогична показанной на примере со сферической поверхностью.

Сечения поверхности открытого тора могут представлять окружности, если секущая плоскость проходит через ось тора или перпендикулярно к ней, а в остальных случаях, когда секущая плоскость не совпадает с осью тора по алгебраическим кривым четвертого порядка, которые имеют общее название кривые Персея.

 

Контрольные вопросы

1. Как строятся проекции линии пересечения плоскостью частного положения? 

2. Охарактеризовать разновидности фигур сечения конуса, цилиндра, сферы, тора.

3. Какова последовательность построения проекций фигур сечения поверхности вращения способом вспомогательных секущих плоскостей?

4. Какой способ применяется в качестве дополнительного при построении проекций фигур сечения поверхности вращения плоскостью общего положения?

5. Как определяют границы видимости проекций фигуры сечения поверхности вращения плоскостью?

Рекомендуемая литература

1. Фролов, С.А. Начертательная геометрия: Учебник. 3-е изд., перераб. и доп. – М.: ИНФРА, 2010. – 285 с.

1. Чекмарев А.А. Начертательная геометрия и черчение: Учеб.для студ. высш. учеб. Заведений. – 2 – е изд., перераб. и доп. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2005. – 471 с.: ил.

3. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. М.: Высш. шк., 2002. – 272 с.:ил.

4. Петлина Т.П. Начертательная геометрия. Ортогональные проекции и их преобразование: Учеб.пособие (с примерами практического использования в курсовом и дипломном проектировании). – Самара: СамВен, 2005. – 168 с.

Лекция №11