Декомпозиция системы и принципы перехода от содержательного описания к математической модели

Декомпозиция (т.е. разбиение целого на части) — широко рас­пространенный метод исследования и проектирования АСУ [1]. Сокращая размерность исследуемого объекта, декомпозиция позво­ляет уменьшить сложность построения полной модели путем заме­ны ее отдельными моделями, допускающими независимую разработку и исследование. Практически это означает, что модель сис­темы приобретает блочный характер.

Декомпозиция моделируемого объекта для представления его в модели обычно проводится по двум направлениям: по «горизонта­ли» (функциональная декомпозиция) и по «вертикали» (детализа­ция, или стратификация) [7, 9-11].

Функциональная декомпозиция. Производится, как правило, с учетом основных функций, выполняемых подсистемами объекта. Функциональная декомпозиция позволяет разработчику модели сосредоточить внимание на полном и правильном отображении взаимодействия основных функциональных частей (подсистем, устройств) объекта и на построении модульной, функционально-ориентированной структуры модели.

Детализация (стратификация) объекта. Необходимость ее обычно выясняется после проведения функциональной декомпози­ции. Решения о детализации принимаются по отношению к каждой подсистеме отдельно. Фрагмент системы, дальнейшая детализация которого не является необходимой, приобретает статус элемента системы, и тем самым фиксируется уровень детализации его опи­сания и представления в модели (параметров и функций, описы­вающих параметрические и временные связи входов и выходов системы). Переход на более детальное представление фрагмента системы необходим только в том случае, если вид и параметры функций F(x, z, t,...), связывающих входы x(t) и выходы y(t) рас­сматриваемого фрагмента системы, не известны с требуемой для модели точностью (рис.2).

На рисунке показан пример стратификации объекта. На рис.2, а изображен объект, для которого, ввиду сложности его организации и функционирования, невозможно получить явные зависимости выходных параметров У = F(X, Z, V, t) от входных параметров X, от состояния системы Z, от воздействий внешней среды V и от време­ни t, необходимых для построения модели. На рис.2, б представлен первый уровень стратификации объекта (функциональная декомпо­зиция). Пусть для двух подсистем, реализующих функции  и  получена требуемая точность их описания. В данном случае даль­нейшая детализация блоков, реализующих функции  и , приведена нa рис.2, в. Процесс стратификации, в общем случае, должен продолжаться до достижения требуемой точности описания функций.

В таком случае, переходя на следующий уровень стратификации, упрощают рассматриваемый элемент, и в конце концов дости­гают уровня детализации, обеспечивающего определение функции F с требуемой точностью.

 Однако декомпозиция не является «механическим» процессом расчленения; она приводит к некоторым дополнительным проблемам анализа системы.

Пусть состояние системы характеризуется функциями зависящими от параметров . Математической моделью для объекта S могла бы служить система соотношений вида:

что в обобщенном виде можно записать как

 В силу сложности системы получение такой модели является весьма редким случаем. Проведем декомпозицию системы S, т.е. расчленим ее на ряд подсистем , основываясь при этом на определенных принципах [3], в том числе принципе минимальной связности между подсистемами. Доведем процедуру расчленения до уровня, когда построение моделей для подсистем , станет заведомо возможным. Пусть характеристиками состояний , будут функции . Естественно, что среди функций  в общем случае могут оказаться функции, совпадающие с . В качестве параметров для описания подсистем  выберем величины . Некоторые из них могут совпа-дать с .При сделанных предположениях математические модели подсистем S, можно представить соотношениями:

     (1.1)

 (1.2)

 

 

                                                                   

 

 

                                                                         

 

 

 

 

 

    Обратим внимание на то, что совокупность моделей (1.1) в об­щем случае не составляет модели системы S. Это модели изолиро­ванных подсистем. Только совокупность уравнений (1.1) и (1.2) описывает систему S.

В результате такого преобразования модель представляется в виде совокупности отдельных блоков.

Отметим, что в процессе декомпозиции появились новые пере­менные вида  и величины , наличие которых не предполагалось при выборе характеристик и параметров процесса S. В некоторых случаях часть этих «промежуточных» величин можно исключить из математической модели. Оставшиеся промежуточные величины должны рассматриваться наряду с выбранными ранее как характе­ристики или параметры процесса S.

Важно также и то, что вид функций  в соотношении (1.2) за­висит от выбранной совокупности характеристик и параметров подсистем, т.е. от варианта декомпозиции. Декомпозиция, приво­дящая к упрощению модели системы, начинается на уровне содер­жательного описания.

Разные подсистемы могут требовать применения разных типов моделей, а для каждой частной модели должны использоваться наиболее целесообразные математическая схема и метод ее иссле­дования.

Когда декомпозиция модели определяется разбиением системы на подсистемы, принятым при создании АСУ, выбор характери­стик  и параметров  предопределен. Если декомпозиция полной модели проводится только по соображениям ее упрощения, можно рассматривать несколько вариантов разбиения.

Для уяснения механизма перехода от описания к блочной моде­ли полезно ввести представление об описании системы S (рис.3, а) как о совокупности элементов 1... 47, представляющих собой части проектируемой системы, взаимодействующие с ней другие систе­мы, внешнюю среду и т.д.

В этой интерпретации переход от описания к модели сводится к исключению некоторых элементов описания; часть из них (5-9, 38-47) исчезает бесследно. Предполагается, что они не оказывают значимого влияния на ход процессов, исследуемых с помощью модели на рис. 3, б.

а)

                                               

 

в)

                                       I                                  II                                  III  

 

Рис.3

Удаление оконечных элементов (22, 23, 36, 37), составляющих описание взаимодействующего с системой «потребителя», часто лишает возможности наглядно представить результаты моделирования. Поэтому функционирование этих элементов следует отра­зить при конструировании критерия интерпретации результатов ) (см. рис.3, б).

Ряд элементов (14, 15, 28, 29) заменяется пассивными связями, транслирующими без искажения информацию, которой обменива­ются сохранившиеся элементы. Некоторая часть элементов заменяется внешними воздействиями: элементы 10, 11, 24, 25 заменены воздействием , элементы 1-4 заменены воздействием ; возмож­ны комбинированные замены: элементы 18, 19, 32, 33 заменены пассивной связью и воздействием .(В программе, реализующей модель, этим воздействиям соответствуют специальные имити­рующие процедуры). Оставшиеся элементы группируются в блоки I, II, III, автономное функционирование которых хорошо изучено.

Получившаяся блочная модель позволяет анализировать взаимо­действие блоков, облегчает управление моделью и организацию работ по ее программированию. Возможно, что при определенных условиях целесообразно исследовать разные блоки разными спосо­бами. Расчленение модуля на блоки является неформальной проце­дурой и затруднено наличием обратных связей.

Блочный характер модели ускоряет процесс ее создания на ста­диях программирования и отладки. В процессе перехода к блочной структуре, как было показано, одновременно решается задача уп­рощения самой модели отбрасыванием или заменой некоторых блоков простыми связями или критериями. В то же время блочная структура приводит и к некоторым усложнениям модели, посколь­ку в ее состав должны входить вспомогательные блоки, органи­зующие взаимосвязи между основными моделирующими блоками. Эти взаимосвязи осуществляются на функциональном уровне (свя­зи между параметрами, входными и выходными переменными) и во времени (синхронизация событий, моделируемых разными бло­ками).

Прежде чем перейти к следующим этапам создания модели, не­обходимо оценить достоверность полученной модели. Это весьма сложная задача, однако, можно рекомендовать два достаточно эф­фективных метода ее решения [2]: 1) проведение выполненных в процессе построения модели рассуждений в «обратном порядке», начиная от анализа критериев интерпретации и заканчивая рас­смотрением постановки задачи; 2) анализ модели специалистами, не участвующими в ее разработке.

Наибольшие трудности возникают при моделировании проекти­руемой системы. Построение модели здесь сводится к упрощению предполагаемой структуры до такой степени, чтобы сделать воз­можным ее экспериментальное исследование доступными средст­вами. Основные трудности появляются при проверке соответствия построенной модели исходному описанию предполагаемой систе­мы. Процедура «разумного упрощения» описания для получения модели не формализована. Обычно используют итерационный ме­тод: вначале проектируется и используется простая модель, затем на основе опыта применения этой модели проектируется и используется более сложная и полная и т.д.

В процессе перехода к математической модели необходимо учитывать определенные принципы и правила [2]. Принципы позволяют сформулировать общие свойства, которыми должна обладать построенная модель. Правила декомпозиции дают способы получения нужных свойств модели.

Основные принципы:

обеспечение компромисса между ожидаемой достоверностью результатов моделирования и сложностью модели;

соблюдение баланса точностей, т.е.

соразмерности погрешности модели (отклонения модели от оптимальной системы) с погрешностью в задании параметров системы при «описании (исходная неопределенность),

соответствия точностей отдельных элементов модели,

соответствия погрешности модели и погрешности при интерпретации и усреднении результатов моделирования;

обеспечение наглядности модели для исследователя и потребителя (заказчика) и удобство работы с ней (изменение данных, модификация структуры и т.п.);

наличие блочной структуры; ее элементы; соответствующие оп­ределенным элементам системы или воздействующим факторам, группируются в совокупности (блоки), причем количество связей между блоками минимизируется;

использование набора простых моделей, каждая из которых предназначена для анализа функционирования системы в узком диапазоне условий.

Основные правила:   

1) следует тщательно упорядочивать структуру описания и наладить группы тесно связанных элементов формализованной схемы и модели. Обмен информацией между блоками должен быть по возможности минимальным;

2) необходимо принимать решение о существенности или несущественности каждого блока для данной задачи и в соответствии с этим сохранять структуру описания в пределах этого блока, заменять ее эквивалентом или удалять блок из модели. Несущественными и подлежащими удалению считаются блоки модели, мало влияющие на принятый критерий интерпретации результатов мо­делирования;

3) блок модели, осуществляющий комплекс воздействий на ис­следуемую часть системы, в общем случае можно заменить множе­ством упрощенных эквивалентов, не зависящих от исследуемой части. Каждый эквивалент формирует одно из возможных воздей­ствий в пределах заданного диапазона, а моделирование проводит­ся в нескольких (по числу воздействий) вариантах. Если взаимо­действия носят конфликтный характер, их можно заменить «наи­худшим воздействием»;

4) следует разрабатывать несколько моделей разной сложности и проверять их по сходимости результатов;

5) результаты исследования полной модели системы следует сравнивать с результатами, полученными при исследовании част­ных моделей, отражающих работу системы в специфических си­туациях. Результаты сравнения используются для уточнения разра­ботанных моделей.                                              

Процесс перехода от содержательного описания к математиче­ской модели, а также процесс построения самой математической модели есть итерационная процедура, допускающая многовариант­ные решения.