Для описания систем
Рассмотренные математические схемы позволяют дать формализованное описание системы и в ряде случаев получить аналитические решения. Однако эти схемы не дают представления о структуре имитационного алгоритма, что необходимо, если такой способ выбран в качестве метода исследования. Эта структура становится очевидной при использовании такой общей универсальной математической схемы, как агрегат. Одно из первых описаний агрегата можно найти в монографии Н.П. Бусленко [1].
Для задания агрегата вводят следующие множества: Т — фиксированное подмножество множества действительных чисел; X, Г, Y, Z — множества любой природы. Элементы указанных множеств определяются так: — момент времени; — входной, — управляющий, — выходной сигналы; — состояние. Впоследствии состояния, входные, выходные и управляющие сигналы будут рассматриваться как функции времени; их значения в момент t будут обозначаться z(t), x(t), y(t), g(t) соответственно.
Под агрегатом понимается абстрактный объект, определяемый множествами Т, X, Г, Y, Z и операторами (вообще говоря, случайными) переходов V и выходов W, реализующими функции z(t) и y(t) соответственно. Агрегат характеризуется также пространством параметров агрегата П, элементы которого имеют вид .
|
|
Рассмотрим реализацию оператора выходов W. Этот оператор строится следующим образом.
В пространстве состояний агрегата Z для каждого значения и можно выделить некоторую область , вид которой зависит от g и . Если траектория системы z (f) попадает в эту область, то надлежит выдать выходной сигнал. Множество в общем случае изменяется при изменении параметров агрегата и в моменты поступления новых управляющих сигналов g(t). В интервалах времени между моментами поступления управляющих сигналов множество не изменяется и остается таким, каким оно оказалось в момент поступления последнего управляющего сигнала.
Множество определяет вид и моменты выдачи выходных сигналов.
Формально это можно записать следующим образом. Если при , где — интервал времени достаточно малой длительности, но , то момент t является моментом выдачи выходного сигнала
(2.4)
В общем случае оператор W " является случайным оператором. Это значит, что данным t, z(t), g(t) и ставится в соответствие не одно определенное значение у, а некоторое множество Y с распределением вероятностей, задаваемых оператором W ". Оператор «следит» за попаданием траектории агрегата в область и определяет очередной момент достижения процессом z(t) подмножества . Этот момент является моментом выдачи выходного сигнала.
|
|
Итак, оператор W ' вырабатывает очередные моменты выдачи выходных сигналов, а оператор W " формирует содержание этих сигналов.
Обратимся теперь к оператору переходов V. Наряду с непрерывным изменением состояния агрегата z(t) будем рассматривать также «скачкообразные» изменения его состояния. Такие переходы имеют место, когда агрегат выдает выходной сигнал или принимает входной сигнал, или получает управляющий сигнал. Состояния, в которые переходит агрегат в этих случаях, называют «особыми» состояниями и обозначают как z(t + 0), указывая таким образом, что это то состояние, в которое агрегат переходит за бесконечно малый интервал времени, т.е. скачком. Так работают, например, дискретные электронные элементы.
Вид оператора V зависит от следующих факторов: а) поступили или нет в течение рассматриваемого интервала времени управляющие и входные сигналы; б) был ли выдан выходной сигнал. Поэтому представим его в виде совокупности случайных операторов V*, V', V" и U.
Пусть t' — момент поступления в агрегат входного сигнала х'. Тогда агрегат, находившийся в этот момент в состоянии z(t'), переходит в состояние
(2.5)
Здесь под g понимается последний управляющий сигнал, поступивший в момент t < .
Если t "— момент поступления в агрегат управляющего сигнала , то
(2.6)
Если t — момент одновременного поступления в агрегат и входного х, и управляющего g сигналов, то
(2.7)
В этом выражении под понимается не оператор, а результат его действия на аргументы t, z(t), g, . Другими словами, вместо (2.7) можно записать
где определяется соотношением (2.6) для t, z(t), g, .
Если оператор W ' обнаружил, что в момент t * есть условия для выдачи выходного сигнала у, то, выдав этот сигнал, агрегат перейдет в особое состояние
(2.8)
Здесь под g понимается последний управляющий сигнал, поступивший в момент t<t*.
Если полуинтервал не содержит моментов поступления входных и управляющих сигналов или выдачи выходных сигналов, а — момент следующего «особого» состояния, тс для имеет место непрерывное изменение: состояния агрегата
(2.9)
причем — последний управляющий сигнал, поступивший в момент t < . Заметим, что обозначение указывает на то, что вид оператора U зависит от того, каким было последнее особое состояние.
Рассмотренная математическая схема позволяет описывать широкий класс систем, поскольку в ней предусмотрено:
наличие разных типов внешних сигналов (не только информационных х, но и управляющих g), что позволяет имитировать изменение алгоритма работы исследуемой системы;
непрерывное изменение состояний системы z(t),
«скачкообразное» изменение состояний системы z(t + 0);
вероятностный характер реакции системы на внешние сигналы.
С помощью соотношений (2.5)-(2.9) можно описать процесс функционирования агрегата (см. подробнее, например, [1, 11]), a затем построить алгоритм, имитирующий этот процесс.