Геометрическое решение игры

1.Решение игр с платежной матрицей 2× n

Решить игру с платежной матрицей A=

Алгоритм:

1) Через концы горизонтального отрезка [0;1] провести два перпендикуляра к нему: левый и правый. Каждой точке отрезка [0;1] будем ставить некоторую смешанную стратегию (x;1− x).

2) На левом перпендикуляре от точки 0 отложить элементы . На правом перпендикуляре от точки 1 отложить элементы .

Замечание. Масштабы на левом и правом перпендикулярах должны быть

одинаковы, не обязательно совпадающие с масштабом горизонтального отрезка [0;1].

3) Соединить отрезками элементы.

4) Выделить нижнюю огибающую всех построенных отрезков, и найти максимальную точку (точки). Пусть точка является пересечением отрезков и . Тогда оптимальную стратегию можно найти при помощи матрицы .

Решить игру с платежной матрицей A=  графически.

Решение:

1. Через концы горизонтального отрезка [0;1] проведем 2 перпендикуляра к нему. Каждой точке отрезка [0;1] будем ставить смешанную стратегию (x; 1− x).

2. На левом перпендикуляре от точки 0 отложить элементы 2, 3, 11. На правом перпендикуляре от точки 1 отложить элементы 7, 5, 2.

3. Соединить отрезками элементы 2 и 7, 3 и 5, 11 и 2.

 

4. Выделим нижнюю огибающую всех построенных отрезков, и найдем

максимальную точку. Точка является пересечением отрезков [3;5] и [11;2]. Тогда оптимальную стратегию можно найти при помощи матрицы .

Решим игру с платежной матрицей .

Оптимальные стратегии игроков и цену игры можно найти, решив системы:

                             

 

                        

                                       

Ответ: оптимальные стратегии игроков оптимальные стратегии игроков , цена игры

 

2.Решение игр с платежной матрицей m ×2

Решить игру с платежной матрицей A= .

Алгоритм:

1) Через концы горизонтального отрезка [0;1] провести два перпендикуляра к нему: левый и правый. Каждой точке отрезка [0;1] будем ставить некоторую смешанную стратегию (y;1− y).

2) На левом перпендикуляре от точки 0 отложить элементы  . На правом перпендикуляре от точки 1 отложить элементы .

3) Соединить отрезками элементы.

4) Выделить верхнюю огибающую всех построенных отрезков, и найти минимальную точку (точки). Пусть точка является пересечением отрезков Тогда оптимальную стратегию можно найти при помощи матрицы .

Пример. Решить игру с платежной матрицей A= .

Решение:

Решим графическим методом.

1. Через концы горизонтального отрезка [0;1] проведем 2 перпендикуляра к нему. Каждой точке отрезка [0;1] будем ставить смешанную стратегию (y; 1− y).

2. На левом перпендикуляре от точки 0 отложить элементы 6, 4, 2, 1. На правом перпендикуляре от точки 1 отложить элементы 5, 6, 7, 8.

3. Соединить отрезками элементы 6 и 5, 4 и 6, 2 и 7, 1 и 8.

4. Выделим верхнюю огибающую всех построенных отрезков, и найдем минимальную точку. Точка является пересечением отрезков [6;5] и [1;8]. Тогда оптимальную стратегию можно найти при помощи матрицы .

Решим игру с платежной матрицей

                 

               

Ответ: оптимальные стратегии игроков оптимальные стратегии игроков , цена игры

 

Практическая Часть

1. Решить Систему

1.1 По формулам Крамера

Решение.

1)Составим определитель  из коэффициентов стоящих при неизвестных в системе.

 

2)Тогда по теореме Крамера:

3)Проверка:

Ответ:

1.2 Методом Гаусса

Решение.

1)Составим расширенную матрицу системы:

2)Преобразим расширенную матрицу к ступенчатому виду:

 

3)Расширенная приведена к расширенному виду. Получили следующую систему уравнений:

 

Ответ:

4. Решить транспортную задачу, заданную таблицей. Спланировать перевозки так, чтобы общая их стоимость была минимальной.

Пункт отправления	В1	В2	В3	B4	В5	Запасы, аi (тонн)
А1	14	8	17	5	3	120
А2	21	10	7	11	6	180
А3	3	5	8	4	9	230
Потребности, bj (тонн)	70	120	105	125	110	530

 

 

 

 

 

5. Распределить а=100 единиц средств по четырём предприятиям с целью получения максимальной суммарной прибыли.

x	g1	g2	g3	g4
0	0	0	0	0
20	18	59	81	72
40	94	39	66	64
60	52	115	98	81
80	143	67	139	140
100	111	116	126	133

 

 

Решение.

1)Условная оптимизация.

1.1)Пусть k=4, тогда

	0	20	40	60	80	100
0	0						0	0
20		72					72	20
40			64				64	40
60				81			81	60
80					140		140	80
100						133	133	100

 

1.2) Пусть k=3

	0	20	40	60	80	100
0	0+0						0	0
20	0+72	81+0					81	20
40	0+64	81+72	66+0				153	20
60	0+81	81+64	66+72	98+0			145	20
80	0+140	81+81	66+64	98+72	139+0		170	60
100	0+133	81+140	66+81	98+64	139+72	126+0	221	20

1.3) Пусть k=2

	0	20	40	60	80	100
0	0+0						0	0
20	0+81	59+0					81	0
40	0+153	59+81	39+0				153	0
60	0+145	59+153	39+81	115+0			212	20
80	0+170	59+145	39+153	115+81	67+0		204	20
100	0+221	59+170	39+145	115+153	67+81	116+0	268	60

 

1.4) Пусть k=1

	0	20	40	60	80	100
0	0+0						0	0
20	0+81	18+0					81	0
40	0+153	18+81	94+0				153	0
60	0+212	18+153	94+81	52+0			212	0
80	0+204	18+212	94+153	52+81	143+0		247	40
100	0+268	18+204	94+212	52+153	143+81	111+0	306	40

 

2) Безусловная оптимизация

2.1)

Прибыль: 306

Так как  

2.2)

2.3)

2.4)

Ответ:

 

                    

 

Заключение

На основании проведенного исследования можно сделать следующие выводы:

· Теория игр является очень сложной областью знания. При обращении к ней надо соблюдать осторожность и четко знать границы применения.

· Теория игр пытается предсказать результат на основе интерактивных моделей, в которых решения каждой стороны влияют на решения других сторон.

· Смысл «игры» здесь является следующим: действие со стороны одного игрока приводит к действиям со стороны других.

· Теория игр полезна, когда требуется определить наиболее важные и требующие учета факторы в ситуации принятия решений в условиях конкурентной борьбы.

Графический метод является одним из основных методов решения задач теории игр. Главной особенностью этого метода является графической изображение задачи. Именно эта особенность и делает этот метод наиболее простым для восприятия человеком задачи, которую ему нужно решить.

 

Литература

1.Просветов Г. И. Математические методы в экономике: Учебно-методическое

пособие. – М.: Изд-во РДЛ, 2004.

2. Бережная Е. В., Бережной В. И. Математические методы моделирования

экономических систем: Учеб пособие. – М.: Финансы и статистика, 2003.

3. Экономико-математическое моделирование. / Под ред. И. Н. Дрогобыцкого. –

М.: Изд-во «Экзамен», 2004.

4. Гончарова Г. А., Молчалин А. А. Элементы дискретной математики: Учебное

пособие. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2004.

5. Высшая математика для экономистов: Учебник / Под ред Н. Ш. Кремера –

М.: ЮНИТИ, 2002.