2020-01-15
142БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра радиотехнических систем
РЕФЕРАТ
На тему:
«Параметры кодов. Контроль, обнаружение и исправление ошибок»
МИНСК, 2008
Параметры кодов
Определение 1. Код – это множество дискретных сигналов, выбранное для передачи сообщений. Коды характеризуются следующими параметрами:
1 Основание кода 
– число элементов множества 
, выбранное для построения кода. Например, если:
а) 
, то 
для троичного кода;
б) 
для двоичного кода.
Практически 
.
Замечание – Эффективность каналов передачи (хранения) информации возрастает с переходом на недвоичные коды.
2 Длина кода 
(значность) – число символов кодового слова.
Определение 2. Последовательности элементов (символов) длиной называются кодовыми словами или кодовыми векторами. Говорят, что слово
имеет длину ; 
, 
Параметр определяет следующие особенности класса кодов. Коды бывают:
а) равномерные (блоковые), 
;
б) неравномерные, 
;
|
|
|
в) бесконечные, 
. К бесконечным относят коды:
1) свёрточные;
2) цепные;
3) непрерывные.
У равномерных (блоковых) кодов поток данных разделяется на блоки по 
информационных символов, и далее они кодируются – символьными кодовыми словами.
Для непрерывного кода поток данных разбивается на блоки длины 
, которые называются кадрами информационных символов. Эти кадры кодируются 
символами кодового слова (кадрами кодового слова). При этом кодирование каждого кадра информационных символов в отдельные кадры кодового слова производится с учетом предыдущих 
кадров информационных символов.
На рисунке 1.1 показаны структуры кодирования блоковыми и непрерывными кодами.
k-битовый n-битовый n-битовый k-битовый
блок блок блок блок
Блоковый код
k0 битов/кадр n0 битов/кадр n0 битов/кадр k0 битов/кадр
 |
Непрерывный код
Рисунок 1.1
3 Размерность кода – число информационных позиций кодового слова.
4 Мощность кода 
– число различных кодовых последовательностей (комбинаций), используемых для кодирования.
– максимальное число кодовых комбинаций при заданных и . Например, 
; 
; 
.
Определение 3. Код, у которого используются все комбинации, называется полным (безизбыточным).
Определение 4. Если число кодовых слов кода 
, то код называется избыточным.
Пример – Пусть , 
, 
.
Код 
– избыточный; 
.
5 Число проверочных (избыточных) позиций кодового слова 
.
|
|
|
Пусть 
, , 
. Тогда на длине слова из семи символов – три избыточных.
6 Скорость передачи кода 
. Для приведенного примера 
.
7 Кратность ошибки 
. Параметр указывает, что все конфигурации из
или менее ошибок в любом кодовом слове могут быть исправлены.
8 Расстояние Хэмминга между двумя векторами (степень удаленности любых кодовых последовательностей друг от друга) 
.
Определение 5. Если 
и 
кодовые векторы, то расстояние Хэмминга равно числу позиций, в которых они различаются. Может обозначаться и как – 
. Например, 
; 
.
Замечание – С позиции теории кодирования 
показывает, сколько символов в слове надо исказить, чтобы перевести одно кодовое слово в другое.
9 Кодовое расстояние (минимальное расстояние кода) 
.
Определение 6. Наименьшее значение расстояния Хэмминга для всех пар кодовых последовательностей кода называют кодовым расстоянием. 
, где 
; 
; 
.
Определение 7. Код значности 
, размерности 
и расстояния 
называется 
- кодом.
Пример – Можно построить следующий код:
; 
; 
; 
.
Данный код можно использовать для кодирования 2–битовых двоичных чисел,
используя следующее (произвольное) соответствие:
Найдем кодовое расстояние этого кода:
;
;
;
;
;
.
Следовательно, для этого кода 
.
Замечание – 
характеризует корректирующую способность кода 
.
10 Вес Хэмминга вектора 
равен числу ненулевых позиций 
, обозначается 
. Например, 
.
Используя определение веса Хэмминга, получим очевидное выражение 
(1.1)
Пример – 
;
|
.
Из выражения (1.1) следует, что минимальное расстояние Хэмминга равно 
, где ; 
; 
.
Замечание – Для нахождения минимального расстояния линейного кода не обязательно сравнивать все возможные пары кодовых слов. Если 
и 
принадлежат линейному коду 
, то 
– также является кодовым словом кода . Такой код является аддитивной группой (определена операция сложения) и, следовательно, 
, где 
и 
, т.е. справедлива теорема.
Теорема 1. Минимальное расстояние линейного кода равно минимальному весу ненулевых кодовых слов.
Т.к. 
, то возникает вопрос о величине 
, такой, чтобы код обеспечивал контроль ошибок, т.е. обнаружение и исправление ошибок.
Контроль ошибок
Кодовое слово можно представить в виде вектора с координатами в 
– мерном векторном пространстве. Например, для 
вектор 
находится в трёхмерном евклидовом пространстве, рисунок 1.2. Разрешенными для передачи выбраны вектора 
и 
.
X0
1 0 0 1 1 0
1 0 1 1 1 1
0 0 0 0 1 0 X1
0 0 1 0 1 1
X2
Рисунок 1.2
Рисунок дает наглядную алгебраическую интерпретацию понятия “мощность кода”:
а) кодовые слова полного кода определяют – мерное пространство, состоящее из 
последовательностей (
– трехмерное пространство, состоящее при 
из 8 последовательностей полного кода);
б) кодовые слова избыточного кода определяют подпространство (подмножество) – мерного пространства, состоящее из 
последовательностей.
Под воздействием помех происходит искажение отдельных разрядов слова. В результате разрешённые для передачи кодовые векторы переходят в другие векторы (с иными координатами) – запрещённые. Факт перехода разрешённого слова в запрещённое для передачи слово можно использовать для контроля за ошибками.
Возможна ситуация, когда разрешённый вектор переходит в другой разрешённый кодовый вектор: 
. В этом случае ошибки не обнаруживаются, и контроль становится неэффективным.
|
|
|
Из рассмотренной модели можно сделать следующий важный вывод: для
того чтобы передаваемые векторы можно было бы отличать друг от друга при наличии помех, необходимо располагать эти векторы в – мерном пространстве
как можно дальше друг от друга. Из этой же 
– мерной модели следует геометрическая интерпретация расстояния Хэмминга: 
– это число рёбер, которые нужно пройти, чтобы перевести один вектор в другой, т.е. попасть из вершины одного вектора в вершину другого.
Обнаружение и исправление ошибок
Стратегия обнаружения заключается в следующем. Декодер обнаруживает ошибку при априорном условии, что переданным словом было ближайшее по расстоянию к принятому слову. Покажем применение этого утверждения.
Пример 1. Пусть 
; 
. Разрешенным для передачи является множество кодовых слов:
.
Очевидно, что код имеет 
. Любая одиночная ошибка трансформирует данное кодовое слово в другое разрешенное слово. Это случай безизбыточного кода, не обладающего корректирующей возможностью.
Пример 2. Пусть теперь подмножество разрешённых кодовых слов предоставлено в виде двоичных комбинаций с чётным числом единиц.
.
Заданный код 
имеет 
. Запрещенные кодовые слова представлены в виде подмножества 
:
.
Если 
, то ни одно из разрешенных кодовых слов (т.е. кода 
) при одиночной ошибке не переходит в другое разрешённое слово этого же кода. Таким образом, код 
обнаруживает:
– одиночные ошибки;
– ошибки нечетной кратности (для 
- тройные).
Например, тройная ошибка кодового слова 
; 
, переводит его в запрещенный вектор 
.
Вывод – В общем случае, при необходимости обнаруживать ошибки кратности 
кодовое расстояние кода должно быть
.
Пример 3. Пусть 
; 
; код 
задан векторами 
и 
.
При возникновении одиночных ошибок или множества векторов
кодовому слову 
соответствует следующее запрещенное подмножество 
|
.
|
соответствует запрещенное подмножество 
= 
= 
Таким образом, коду – разрешенному для передачи подмножеств векторов соответствует два запрещенных подмножества векторов 
и :
|
|
|
=
= 
.
= 
Стратегия исправления ошибок заключается в следующем:
– каждая из одиночных ошибок приводит к запрещенному кодовому слову того или иного запрещенного подмножества (
и 
);
– структура кодового запрещенного подмножества, относящаяся к соответствующему исходному разрешенному подмножеству, позволяет определить местоположение ошибки, т.е. исправить ошибку.
Для исправления ошибок кратности 
кодовое расстояние должно удовлетворять соотношению 
. (1.2)
Используя эту формулу, можно записать
,
где 
обозначает целую часть числа 
.
Замечание – Существуют модели каналов (например, канал с дефектами), в которых величина может быть больше, чем в выражении (1.2).
ЛИТЕРАТУРА
· Митюхин А.И., Игнатович В.Г. Линейные групповые коды: Учеб. пособие. – Мн.:БГУИР, 2002.
· Митюхин А.И. Элементы абстрактной алгебры: Учеб.пособие. – Мн.: БГУИР, 2000.
· Лосев В.В. Помехоустойчивое кодирование в радиотехнических системах передачи информации: Метод. Пособие Ч.1. Линейные коды. – Мн.: ВШ, 2004.
