Алгебраическое решение

.

Так как , то . Значит, , поэтому можно раскрыть модуль

.

Ответ: .

Решение уравнения алгебраическим способом требует хорошего навыка проведения тождественных преобразований и грамотного обращения с равносильными переходами. Но в общем оба приема решения равноценны.

Пример 2. Решите уравнение

 [14].

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Область определения уравнения задается неравенством , что равносильно условию , тогда . Поэтому можно положить . Уравнение примет вид

.

Так как , то . Раскроем внутренний модуль

.

Положим , тогда

.

Условию  удовлетворяют два значения  и .

.

.

Ответ: .

Алгебраическое решение

.

Возведем в квадрат уравнение первой системы совокупности, получим

.

Пусть , тогда . Уравнение перепишется в виде

.

Проверкой устанавливаем, что  – корень, тогда делением многочлена  на двучлен получаем разложение правой части уравнения на множители

.

От переменной  перейдем к переменной , получим

.

Условию  удовлетворяют два значения

.

Подставив эти значения в исходное уравнение, получаем, что  – корень.

Решая аналогично уравнение второй системы исходной совокупности, находим, что  тоже корень.

Ответ: .

Если в предыдущем примере алгебраическое решение и решение с помощью тригонометрической подстановки были равноценны, то в данном случае решение подстановкой выгоднее. При решении уравнения средствами алгебры приходится решать совокупность из двух уравнений, то есть дважды возводить в квадрат. После этого неравносильного преобразования получаются два уравнения четвертой степени с иррациональными коэффициентами, избавиться от которых помогает замена. Еще одна трудность – проверка найденных решений подстановкой в исходное уравнение.

Пример 3. Решите уравнение

 [31].

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Так как , то . Заметим, что отрицательное значение неизвестного не может быть решением задачи. Действительно, преобразуем исходное уравнение к виду

.

Множитель в скобках в левой части уравнения положительный, правая часть уравнения тоже положительная, поэтому множитель  в левой части уравнения не может быть отрицательным. Вот почему , тогда , поэтому можно положить  Исходное уравнение перепишется в виде

.

Так как , то  и . Уравнение примет вид

.

Пусть . Перейдем от уравнения к равносильной системе

.

Числа  и  являются корнями квадратного уравнения

.

.

Ответ: .