Алгебраическое решение

Возведем обе части уравнения в квадрат

.

Введем замену , тогда уравнение запишется в виде

.

Второй корень является лишним, поэтому рассмотрим уравнение

.

Так как , то .

Ответ: .

В данном случае алгебраическое решение в техническом плане проще, но рассмотреть приведенное решение с помощью тригонометрической подстановки следует обязательно. Это связано, во-первых, с нестандартностью самой подстановки, которая разрушает стереотип, что применение тригонометрической подстановки возможно лишь, когда . Оказывается, если  тригонометрическая подстановка тоже находит применение. Во-вторых, представляет определенную трудность решение тригонометрического уравнения , которое сводится введением замены к системе уравнений. В определенном смысле эту замену тоже можно считать нестандартной, а знакомство с ней позволяет обогатить арсенал приемов и методов решения тригонометрических уравнений.

Пример 4. Решить уравнение

 [4].

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Так как переменная  может принимать любые действительные значения, положим . Тогда

,

,так как .

Исходное уравнение с учетом проведенных преобразований примет вид

.

Так как , поделим обе части уравнения на , получим

.

Пусть , тогда . Уравнение примет вид

.

.

Учитывая подстановку , получим совокупность из двух уравнений

.

Решим каждое уравнение совокупности по отдельности.

1)                                             .

.

 не может быть значением синуса, так как  для любых значений аргумента.

.

Откуда

.

Так как  и правая часть исходного уравнения положительна, то . Из чего следует, что .

2)                                             .

.

Это уравнение корней не имеет, так как .