Метод узловых потенциалов

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ

Метод пропорциональных величин

Согласно методу пропорциональных величин, в самой удаленной от источника Э. Д. С. ветви схемы произвольно задается некоторым током в 1 А. Далее, продвигаясь от конца схемы к началу, находим токи в ветвях и напряжения на различных участках схемы. Так как найденное значение напряжение в начале схемы в общем случае не будет равно Э. Д. С. источника, то следует во всех ветвях изменить токи, умножив их на коэффициент, равный отношению Э. Д. С. источника к найденному значению напряжения в начале схемы.

Метод пропорциональных величин применим для расчета цепей, состоящих только из последовательно и параллельно соединенных сопротивлений и при наличии в схеме одного источника.

Метод контурных токов

При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего определяют токи ветвей через контурные токи.

Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего определяют токи ветвей через контурные токи.

или

Для второго контура

или

Введем обозначения

                     

С учетом введенных обозначений

где

.

Получим представление в матричном виде

Общее решение системы n – уравнений относительно тока.

, где ∆ - определитель системы.

;

∆_km – алгебраическое дополнение полученное из определителя ∆ путем вычеркивания k-столбца и m-й строки и умножения полученного определителя на (-1)^k+m.

Пример.

                

 

      

 

 

 

Метод узловых потенциалов

Ток в любой ветви схемы можно найти по закону Ома для участка цепи, содержащего Э.Д.С. Для того чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать потенциалы узлов схемы. Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов.

Допустим, что в схеме n – узлов. Так как любая точка схемы может быть заземлена, то можно принять потенциал его равным нулю. При этом число неизвестных уменьшается с n до n – 1.

Узел 4 заземлен, те. j₄= 0. Необходимо определить j₁,j₂,j₃ -?

Первый индекс – номер узла, от которого ток утекает, второй индекс – номер узла к которому ток подтекает. Составим уравнение по первому закону Кирхгофа для первого узла:

 

   

 

Перепишем последнее уравнение следующим образом

 

 

 

где

     

 

Множителем при j₁ является коэффициент G₁₁, равный сумме проводимостей всех ветвей, сходящихся в первом узле. G₁₂ равняется сумме проводимостей всех ветвей, соединяющих узел 1 с узлом 2, взятой со знаком минус. G₁₂ есть сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих узел 1 с узлом 3, взятая со знаком минус. Ток I₁₁, называемый узловым током первого узла, - это расчетная величина, равная алгебраической сумме токов, полученной от деления Э.Д.С. ветвей, подходящих к узлу 1, на сопротивление данных ветвей. В эту сумму со знаком плюс входят токи тех ветвей, Э.Д.С. которых направлены к узлу 1.