Уравнения с разделяющимися переменными

       Определение. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде

.

     После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.

           

       Пример. Решить уравнение

 

                                                           - общий интеграл

                                                            - общее решение

                                        

4.3.Однородные уравнения.

       Определение. Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если его правая часть f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.

       Любое уравнение вида  является однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения.

       Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.

                   Рассмотрим однородное уравнение

-6-

Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать:

Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что . Получаем:

       Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного аргумента , т.е.

Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде:

Далее заменяем y = ux, .

 

таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.

 

Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.

                                                                

Пример. Решить уравнение

 

 

-7-

 

4.4Уравнения, приводящиеся к однородным.

       Кроме уравнений, описанных выше, существует класс уравнений, которые с помощью определенных подстановок могут приведены к однородным.

       Это уравнения вида .

Если определитель  то переменные могут быть разделены подстановкой

где a и b - решения системы уравнений

Пример. Решить уравнение

 

 

 

-8-

4.5.Линейные уравнения.

       Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:

при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением.

       P(x) и Q(x)- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b.

 

4.6. Уравнение Бернулли

у+Р(х)у=Q(х)у, m = 0, m = 1.

Решение ищем в виде: у=u v, где u=u(х)

                                                    v=v(х)

Пример. Решить уравнение

 

-9-

 

 

4.7. Уравнения в полных дифференциалах

       Дифференциальное уравнение первого порядка вида:

(1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции

  Уравнение (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции U(х,у), т.е dU=M(x,y)dx+N(x,y)dy, причем с другой стороны dU=

Теорема:  пусть функции M(x,y), N(x,y) и их частные производные

непрерывны для того чтобы уравнение (1) было уравнением в полных дифференциалах необходимо и достаточно выполнения условия:

Пример. Решить уравнение

 

-10-