Дифракция Френеля на диске

    Предположим, что сферическая волна встречает на своём пути диск. Дифракционную картину наблюдаем на экране. От источника S проводим прямую линию, проходящую через центр диска и соединяющую S и точку В на экране. В данном случае закрытый диском участок волнового фронта необходимо исключить из рассмотрения и зоны Френеля строить, начиная с краёв диска. Пусть диск закрывает m первых зон Френеля. Тогда амплитуда результирующего колебания в точке В равна:

A = A_m+1 - A_m+2 + A_m+3 - A_m+4 … = A_m+1 /2 + (A_m+1 /2 - A_m+2 + A_m+3 /2) + … или A = A_m+1 /2, так как выражения, стоящие в скобках равны нулю. Следовательно, в точке В всегда (!) наблюдается интерференционный максимум (светлое пятно), соответствующий половине действия первой открытой зоны Френеля. Центральный максимум окружён концентрическими тёмными и светлыми кольцами. Интенсивность света убывает от центра к краям. Если увеличивать размер диска, то пятно в центре будет уменьшаться и совсем исчезнет (станет неразличимым).

§ 12. Спираль Корню.

1. Сначала рассмотрим распределение интенсивности в дифракционной картине от одной щели. Причём рассмотрение это будем проводить при помощи фазовых диаграмм. Разделим щель на N очень узких полос, которые будут являться псевдоисточниками световых волн. Пусть ширина полос Dy гораздо меньше длины волны монохроматического света, падающего на щель. Разность фаз для соседних полос:

Db = , разность хода составляет в данном случае Dy ×sin q.

Полная амплитуда на экране, отвечающая произвольному углу q, равна сумме волн из всех полос Dy; все элементарные волны имеют одинаковую амплитуду e_o, но различаются по фазе. Чтобы получить полную амплитуду воспользуемся фазовой диаграммой. В центре экрана, когда Db = 0, поскольку sinq = 0, все волны оказываются в одной фазе, поэтому стрелки (векторы), соответствующие амплитудам е_о, выстраиваются в прямую линию:

их сумма и будет общей амплитудой при q = 0, E = N × e_o. Пусть угол q не будет равен нулю, но будет небольшим. Тогда фазовая диаграмма будет выглядеть следующим образом:

Каждая элементарная волна, в данном случае, отличается от соседней на Db. Соответственно, разность фаз волн от верхнего и нижнего краёв щели будет:

b = N × Db = 2p/ l × N × Dy ×sin q = 2p/ l × D ×sin q, где D = N × Dy - полная ширина щели. Хотя дуга имеет длину N × e_o = E_o, амплитуда же представляет собой векторную сумму амплитуд элементарных волн и, поэтому равна хорде. Понятно, что E_q < E_o. Если мы будем увеличивать угол q, то мы рано или поздно приходим к случаю, когда элементарные векторы, соответствующие волнам, исходящим от полос Dy, при сложении образуют замкнутую окружность и, следовательно, сумма их будет равна нулю! Это соответствует первому минимуму. Db × N = 2p = N (2p/ l × Dy ×sin q) или 1 = (N / l)× Dy ×sin q, или sin q = l / D. (условие первого минимума). При ещё больших углах q цепочка стрелок ещё больше закручивается на угол, превышающий 360°.

    2. Пусть на пути световой волны расположена полуплоскость с прямолинейным краем. Пусть на расстоянии b за полуплоскостью расположен параллельный ей экран. Вблизи края полуплоскости опустим перпендикуляр на экран, в точку P. Разобьём волновую поверхность вблизи края полуплоскости на зоны, которые будут иметь вид очень узких прямоугольных полос, параллельных краю полуплоскости. Ширину зон выберем так, чтобы расстояния от точки P до краёв любой зоны отличались на одинаковую величину D. При этом условии колебания, создаваемые в точке P соседними зонами, будут отличаться по фазе на постоянную величину. Зонам, расположенным справа от точки P, припишем номера 1,2,3 и т.д. (m), а расположенным слева - номера 1',2',3', и т.д. (m'). Зоны с номерами m и m' имеют одинаковую ширину и расположены относительно точки P симметрично. Поэтому создаваемые ими в P колебания совпадают по амплитуде и по фазе. Чтобы установить зависимость амплитуды от номера зоны m, оценим площади зон. Из рис. видно, что суммарная ширина первых m зон равна:

d₁ + d₂ + d₃ +…+ d_m =

Поскольку D << b, то квадратичным членом под корнем можно пренебречь и тогда:

d₁ + d₂ + d₃ +…+ d_m =

Если m = 1, то d₁ =  Следовательно, d₁ + d₂ + …+ d_m = d₁  Отсюда d_m = d₁ (). Расчёт по этой формуле даёт, что

d₁:d₂:d₃:d₄ … = 1:0.41:0.32:0.27:…В таких же соотношениях находятся и площади зон. Отсюда следует, что амплитуда колебаний, создаваемых в точке P отдельными зонами, вначале убывает быстро, а затем это убывание становится медленным. И если рисовать фазовые диаграммы, то вначале нужно провести относительно длинный вектор, следующий короче, следующий ещё короче. При этом, разумеется, нужно их проводить под углом друг к другу, поскольку меняется фаза колебаний. Получается что-то похожее на спираль. Если учитывать зоны справа от точки P, то спираль будет идти вправо вверх; если же учесть зоны слева от точки P, то получим спираль, идущую влево вниз, симметрично первой. Если ширину зон устремить к нулю, то получим плавную кривую, которая называется спиралью Корню (рис…).  

    Спираль Корню даёт возможность найти амплитуду светового колебания в любой точке экрана. Или, иначе говоря, помогает найти дифракционную картину, полученную от края полуплоскости. Мы будем считать, что положение точки на экране определяется координатой x, отсчитываемой от границы геометрической тени. Для точки P, которую мы передвинем к границе геометрической тени (x = 0), все штрихованные зоны будут закрыты. Колебаниям от нештрихованных зон соответствует правый завиток спирали. Следовательно, результирующее колебание изобразится вектором, начало которого находится в точке O, а конец в точке F₁. При смещении точки P в область геометрической тени полуплоскость закрывает всё большее число нештрихованных зон. Поэтому начало результирующего вектора перемещается по правому завитку в направлении точки (полюса) F₁. При всё большем смещении точки P в область тени амплитуда колебаний в ней стремится к нулю. И, наоборот, если точка P смещается от границы геометрической тени вправо, то в дополнение к нештрихованным зонам открывается всё возрастающее число штрихованных зон. Поэтому начало результирующего вектора скользит по левому завитку спирали в направлении полюса F₂. При этом амплитуда проходит через ряд максимумов (первый из них равен отрезку MF₁) и минимумов (первый из них равен отрезку NF₁). При полностью открытой волновой поверхности амплитуда равна длине отрезка F₂F₁, т.е. ровно в два раза превышает амплитуду на границе геометрической тени. Соответственно интенсивность на границе геометрической тени составляет 1/4 интенсивности I_o, получающейся на экране в отсутствие преград. Зависимость интенсивности света I от координаты x дана на рис…. Из рисунка видно, что при переходе в область геометрической тени интенсивность света меняется не скачком и не периодически, а плавно стремится к нулю!

    Между прочим, дифракцию от щели тоже можно описывать при помощи спирали Корню, поскольку щель - это не что иное как две полуплоскости, близко придвинутые друг к другу.

ТЕМА 4: Поляризация света.

§ 13. Плоскополяризованный свет, свет, поляризованный по кругу и эллипсу.

    В этой лекции мы будем рассматривать круг явлений, связанных с векторным характером электрического поля световой волны. Поляризация относится к тем явлениям, в которых главную роль играет определённое направление колебаний электрического вектора. Вектор напряжённости электрического поля называют световым вектором. Свет представляет собой суммарное электромагнитное излучение множества атомов. Атомы излучают световые волны независимо друг от друга, поэтому свет, излучаемый телом в целом, характеризуется всевозможными равновероятными колебаниями светового вектора. Такой свет называется естественным.

    Свет, в котором направления колебаний светового вектора упорядочены, называется поляризованным. Свет, в котором световой вектор ориентирован только в одном направлении, называется плоскополяризованным или линейно поляризованным. Плоскость, совпадающая с направлением светового вектора и направлением распространения света, называется плоскостью поляризации. Плоскополяризованный свет является предельным случаем эллиптически поляризованного света – света, для которого вектор E изменяется со временем так, что его конец описывает эллипс, лежащий в плоскости, перпендикулярной лучу. Если эллипс вырождается в прямую, то мы имеем дело с плоскополяризованным лучом, а если в окружность, то имеем дело с циркулярно поляризованным (поляризованным по кругу) светом. 

    Степенью поляризации называется величина P =  где I_max и I_min – соответственно максимальная и минимальная интенсивности частично поляризованного света. Для естественного или циркулярно поляризованного света I_max = I_min, т.е. P = 0, а для плоскополяризованного I_min = 0, т.е. P = 1.

 

§ 14. Способы поляризации света.

1. Поляризаторы. Естественный свет можно преобразовать в плоскополяризованный, используя, так называемые поляризаторы, например турмалин. Для этой же цели, в настоящее время, применяют поляроидные плёнки. Эти плёнки состоят из длинных молекул, сориентированных параллельно друг другу. Такая плёнка действует как набор параллельных щелей, почти без потерь пропуская свет одной поляризации (в этом случае ось поляроида параллельна световому вектору) и почти полностью поглощая свет, поляризованный в перпендикулярной плоскости. Если пучок плоскополяризованного света падает на поляроид, ось которого образует угол q с направлением поляризации, то после поляроида он будет поляризован в плоскости, параллельной оси поляроида, и иметь амплитуду, меньшую в cos q раз. Так как интенсивность света пропорциональна квадрату его амплитуды, то интенсивность пучка, прошедшего через поляризатор (поляроид), определяется выражением:          I = I_o cos² q (закон Малюса). Поляроид можно использовать в качестве поляризатора для получения плоскополяризованного света. Ещё поляроид можно использовать в качестве анализатора, когда требуется установить: 1) поляризован ли свет и 2) в какой плоскости. Анализатор пропускает одно и то же количество естественного света независимо от ориентации своей оси, но если свет поляризован, то при вращении поляроида интенсивность пропускаемого света будет меняться. Если на пути у пучка естественного света расположить поляризатор, а за ним анализатор, то вращая анализатор относительно поляризатора, будем получать то свет, то темноту. Это и понятно – на выходе из поляризатора свет является плоскополяризованным и, если ось анализатора становится перпендикулярно оси поляризатора, то на выходе будет темнота (анализатор ничего не пропустит). 

2. Поляризация при отражении. Получить поляризованный свет из неполяризованного можно при отражении. Когда свет падает на неметаллическую поверхность под любым углом, кроме прямого, отражённый луч оказывается плоскополяризованным параллельно отражающей поверхности. Компонента же света, которая перпендикулярна отражающей поверхности, почти полностью проходит во вторую среду или поглощается. Степень поляризации отражённого луча зависит от угла падения: при нормальном падении свет полностью не поляризован, а при падении под углом, который называется углом Брюстера (или углом полной поляризации), отражённый свет поляризован на 100%. То есть, он является плоскополяризованным. Угол Брюстера (i_p) связан с показателями преломления сред по обе стороны границы их раздела (n₁ и n₂) соотношением: tg i_p = n₂ / n₁, где n₁ – показатель преломления среды, в которой распространяется луч, а n₂ –показатель преломления среды, лежащей по другую сторону отражающей границы. Если свет распространялся в воздухе, то n₁ = 1 и tg i_p = n₂ = n. Следует отметить, что при падении под углом Брюстера отражённый и преломлённый лучи образуют угол 90° (n₂ = n₁ tg i_p = n₁ sin i_p /cos i_p и если учесть закон преломления n₁ sin i_p = n₂ sin r, тогда  cos i_p = sin r, которое справедливо только при условии i_p = 90° - r или                 i_p + r = 90°).

3. Вращение плоскости поляризации. Было обнаружено, что при прохождении плоскополяризованного света через некоторые кристаллы и растворы плоскость поляризации поворачивается на некоторый угол. На рисунке изображено, что свет проходит сначала через поляризатор, затем через раствор сахара. Поляроид-анализатор, помещённый за кюветой с сахарным раствором, не полностью гасит свет, когда его оптическая ось образует с оптической осью поляризатора угол 90°. Однако, если анализатор довернуть на некоторый угол f, то он перестанет пропускать свет. Это свидетельствует о том, что сахарный раствор поворачивает плоскость поляризатора на угол f. Такие вещества называются оптически активными. Оптическая активность обусловлена асимметрией молекул, которые могут иметь форму спиралей, как, например, молекулы белков. Вещества, поворачивающие плоскость поляризации вправо по ходу луча, называются правовращающими. Вещества, поворачивающие плоскость поляризации влево по ходу луча, называются левовращающими. Обычный раствор сахара, например, принадлежит к числу правовращающих веществ. Угол вращения зависит от длины пути l света в веществе и от концентрации с (кг/м³), если речь идёт о растворе. Для разбавленных растворов выполняется простое выражение: f = alc. Постоянная a характеризует свойства вещества и называется удельным вращением (постоянной вращения) или удельной оптической активностью (a зависит, сама по себе, от температуры и длины волны света). Так как угол вращения f пропорционален концентрации, оптическая активность служит стандартным методом определения концентраций растворов таких веществ как сахар. Оптическая активность также применяется для исследования пространственной структуры больших молекул, например, белков.

Стекло и пластмасса приобретают оптическую активность в деформированном состоянии.Вращение плоскости поляризации максимально в местах с максимальным напряжением.

4. Двойное лучепреломление. Во многих прозрачных средах скорость света одинакова по всем направлениям. Такие среды называются изотропными. Но в некоторых кристаллах и растворах скорость света в различных направлениях неодинакова. Такие кристаллы называются анизотропными. О них говорят ещё как о двоякопреломляющих. В двоякопреломляющих кристаллах, таких, как кальцит, существует выделенное направление, называемое оптической осью кристалла (речь идёт не об отдельной линии, а о направлении в кристалле). Если естественный свет входит в такой кристалл вдоль оптической оси, то ничего аномального при этом не происходит. Но если неполяризованный свет падает на кристалл под углом к оптической оси (рис….), то наблюдается необычное явление – в кристалле возникают два преломлённых луча. На рисунке видно, что исходный луч света падает по нормали к поверхности, но под углом к оптической оси кристалла. Один преломлённый луч, называемый обыкновенным лучом (о), проходит сквозь кристалл обычным образом и выходит с обратной стороны по прямой. Другой луч, называемый необыкновенным лучом (е), преломляется, отклоняясь от прямой на некоторый угол. Закон преломления для обыкновенного луча выполняется, а для необыкновенного не выполняется. Лучи о и е плоскополяризованы во взаимно перпендикулярных направлениях.

 

 

Обыкновенный      луч

   

    

 

 

 

Рисунок, иллюстрирующий двойное лучепреломление в кристалле исландского шпата.

    Явление двойного лучепреломления можно объяснить, приняв следующее допущение: скорость света зависит от ориентации вектора поляризации относительно оптической оси кристалла. Обыкновенный луч поляризован перпендикулярно оптической оси, поэтому его скорость одинакова по всем направлениям – поляризация всё равно остаётся перпендикулярной оптической оси кристалла. Для необыкновенного же луча угол между направлением колебаний светового вектора и оптической осью зависит от направления луча, поэтому необыкновенные лучи распространяются по различным направлениям с различными скоростями. Следовательно, показатель преломления n_e необыкновенного луча является переменной величиной, зависящей от направления луча. Представим себе, что внутри кристалла, в точке О имеется точечный источник естественного света. Тогда волновой поверхностью обыкновенных лучей будет сфера, необыкновенных – эллипсоид вращения. Сечением их будут являться - круг и эллипс (рис.).

Рисунок, поясняющий распространение обыкновенного и необыкновенного луча в двулучепреломляющем кристалле (например, турмалине), где ОО’ – оптическая ось.

    В некоторых кристаллах один из лучей поглощается сильнее другого. Это явление называется дихроизмом. Сильным дихроизмом в видимых лучах обладает турмалин. В нём обыкновенный луч поглощается практически полностью на длине 1 мм. Таким образом, на выходе из такого кристалла остаётся только один луч, поляризованный в плоскости, т.е. плоскополяризованный. Это явление используется для изготовления поляроидов.

    Другим способом, при помощи которого можно получить поляризованный свет из естественного, является применение специальных призм. Одной из самых распространённых призм такого типа является призма Николя. Призма Николя представляет собой двойную призму из исландского шпата, склеенную вдоль диагонали AB канадским бальзамом с n = 1.55. Оптическая ось ОО’ призмы составляет с входной гранью угол 48°. На передней грани призмы естественный луч, параллельный ребру CB, раздваивается на два луча: обыкновенный (n_o = 1.66) и необыкновенный (n_e = 1.51). При соответствующем подборе угла падения, обыкновенный луч испытывает полное внутреннее отражение (канадский бальзам является для него средой оптически менее плотной), а затем поглощается зачернённой боковой поверхностью CB. Необыкновенный луч выходит из кристалла параллельно падающему естественному лучу, незначительно от него смещённым. При соответствующем подборе угла падения, обыкновенный луч испытывает полное внутреннее отражение (канадский бальзам является для него средой оптически менее плотной), а затем поглощается зачернённой боковой поверхностью CB. Необыкновенный луч выходит из кристалла параллельно падающему естественному лучу, незначительно от него смещённым.

 

ТЕМА 5: Дисперсия света.

§ 15. Дисперсия света.

    Дисперсией света называется зависимость показателя преломления n вещества от частоты n (длины волны l) света. Дисперсию света можно записать в виде соотношения n = f(l). Следствием дисперсии является разложение в спектр пучка белого света при прохождении его через призму. Первые экспериментальные наблюдения дисперсии света принадлежат Ньютону.

    Рассмотрим дисперсию света в призме. Пусть монохроматический пучок света падает на призму с преломляющим углом А и показателем преломления n под углом a₁ к грани призмы. После двукратного преломления (на левой и правой гранях призмы) луч оказывается отклонённым от первоначального направления на угол j. Из рисунка следует, что j = (a₁ - b₁) + (a₂ - b₂) = a₁ + a₂ – А. Предположим, что углы А и a₁ малы, тогда углы a₂, b₁ и b₂ будут также малы и вместо синусов этих углов можно воспользоваться их значениями. Тогда будет a₁ / b₁ = n, b₂ / a₂ = 1/ n, а так как b₁ + b₂ = А, то a₂ = b₂n = n (A - b₁) = n (A - a₁ / n) = nA - a₁, откуда a₁ + a₂ = nA.

    Из данных выражений следует, что j = А (n – 1), т.е. угол отклонения лучей призмой тем больше, чем больше преломляющий угол призмы. Кроме того из этого выражения вытекает, что угол отклонения лучей призмой зависит и от величины (n – 1), а показатель преломления n – зависит от длины волны, поэтому лучи разных длин волн после прохождения призмы окажутся отклонёнными на разные углы, т.е. пучок белого света за призмой разлагается в спектр. Таким образом, с помощью призмы, так же как и с помощью дифракционной решётки можно разлагать свет в спектр.

    Для характеристики дисперсии различных веществ вводится величина: , называемая дисперсией вещества, которая показывает, как быстро изменяется показатель преломления от длины волны.

§ 16. Электронная теория дисперсии света.

    Из макроскопической электромагнитной теории Максвелла следует, что абсолютный показатель преломления среды равен: , где e - диэлектрическая проницаемость среды, m - магнитная проницаемость. В видимой области спектра для всех веществ m» 1, поэтому . Здесь встречается момент, связанный с особенностями развития науки. По Максвеллу, диэлектрическая проницаемость (e) является постоянной величиной (это относительная диэлектрическая проницаемость) и, следовательно, показатель преломления (n), также постоянная величина, однако это не так – есть зависимость показателя преломления от длины волны, например. Кроме того, значения n, полученные из этого выражения, не согласуются с опытными значениями. Данные противоречия преодолела электронная теория Лоренца. В теории Лоренца дисперсия света рассматривается как результат взаимодействия электромагнитных волн с заряженными частицами, входящими в состав вещества и совершающими вынужденные колебания в переменном электромагнитном поле волны.

    Рассмотрим несколько подробнее применение электронной теории дисперсии света к однородному диэлектрику. Предположим при этом, что дисперсия света является следствием зависимости e от частоты w световых волн. Диэлектрическая проницаемость вещества (из курса электричества это известно) равна: e = 1 + c = 1 + P /(e_oE), где c - диэлектрическая восприимчивость среды, e_о – абсолютная диэлектрическая проницаемость, Р – мгновенное значение поляризованности. Основное значение здесь имеет электронная поляризация, т.е. вынужденные колебания электронов под действием электрической составляющей поля волны.

    В первом приближении можно считать, что вынужденные колебания совершают только внешние, наиболее слабо связанные с ядром электроны – оптические электроны. Для простоты рассмотрим колебания только одного внешнего электрона. Наведенный дипольный момент электрона, совершающего вынужденные колебания, равен p = ex, где е – заряд электрона, x – смещение электрона под действием электрического поля световой волны. Если концентрация атомов в диэлектрике равна N_o, то мгновенное значение поляризованности P = N_op = N_oex. В результате, сделав соответствующие подстановки, получим: n² = 1 + N_oex /(e_oE). Если посмотреть внимательно на эту формулу, то можно увидеть, что задача сводится к определению смещения x электрона под действием электрического поля E. Поле световой волны можно записать в виде: E = E_o cos wt. Уравнение вынужденных колебаний электрона для простейшего случая (без учёта сил сопротивления) будет иметь вид:  где F_o = eE_o – амплитудное значение силы, действующей на электрон со стороны поля волны, w_о = - собственная частота колебаний электрона, m – масса электрона. Решив уравнение, найдём чему равен n² = e в зависимости от параметров атома (e, m, w_o) и частоты колебания внешнего поля (света) - w. Решение задачи можно записать в виде x = A cos wt, где A = . Сделав соответствующие подстановки, получим: n² = 1 + .

    Если в веществе имеются различные заряды e_i, совершающие вынужденные колебания с различными собственными частотами w_oi, то:

n² = 1 +  где m_i - масса i-го заряда.

    Из приведенных выражений следует, что показатель преломления n зависит от частоты w внешнего поля, или от длины волны падающего на диэлектрик света. Таким образом, полученные выражения действительно подтверждают явление дисперсии света.

ТЕМА 6: Поглощение и рассеяние света.

§ 17. Поглощение света.

    При прохождении световой волны через вещество часть энергии волны затрачивается на возбуждение колебаний электронов. Частично эта энергия после взаимодействия с электронами снова превращается в излучение в виде вторичных волн; частично же она переходит в тепловую энергию вещества. Поэтому интенсивность света при прохождении через вещество уменьшается - свет поглощается в веществе. Вынужденные колебания электронов, а следовательно, и поглощение света становятся особенно интенсивными при резонансной частоте.

    Экспериментально было показано, что интенсивность света при прохождении через вещество убывает по экспоненциальному закону:

I = I_o e^{- al},

где I_o – интенсивность света на входе в поглощающий слой, l – толщина слоя, a - постоянная, зависящая от свойств вещества и длины волны света и называемая коэффициентом поглощения. Данное соотношение известно, как закон Бугера.  

    Продифференцировав это соотношение по длине l, получим    d I = - al d l. Из данного выражения следует, что убыль интенсивности на пути dl пропорциональна длине этого пути и значению самой интенсивности. Из формулы следует, что при l = 1/ a интенсивность I убывает в e раз. Таким образом, коэффициент поглощения есть величина, обратная толщине слоя при прохождении которого интенсивность света убывает в e раз.

    Коэффициент поглощения зависит от длины волны падающего света. У вещества, атомы (или молекулы) которого практически не воздействуют друг на друга (газы, пары металлов), коэффициент поглощения близок к нулю. Только для узких спектральных областей обнаруживаются узкие линии поглощения, которые соответствуют резонансным частотам колебаний электронов. Подобные максимумы наблюдаются и для многоатомных молекул и соответствуют резонансным частотам колебаний отдельных атомов внутри молекулы. Однако интенсивности таких пиков гораздо меньше, чем у электронных, поскольку их массы гораздо больше массы электронов. Если мы будем повышать давление газа, то пики поглощения станут шире, что указывает на взаимодействие атомов друг с другом.

    Металлы практически непрозрачны для света (коэффициент поглощения для них имеет значение порядка 10⁶ м^-1, для сравнения стекло имеет коэффициент поглощения около 1 м^-1). Такой большой коэффициент поглощения у металлов обусловлен наличием у них свободных электронов. Практически для каждого фотона находится свободный электрон, которому передаётся энергия, повышая температуру электронного газа и металла в целом.

 

§ 18. Рассеяние света.

    С классической точки зрения процесс рассеяния света заключается в том, что свет, проходящий через вещество, вызывает колебания электронов в атомах. Колеблющиеся электроны возбуждают вторичные волны, распространяющиеся по всем направлениям. Однако, в случае распространения света в однородной среде, вторичные волны гасят друг друга в результате интерференции по всем направлениям кроме направления распространения первичной волны.

    Вторичные волны не гасят друг друга только при распространении света в неоднородной среде. Световые волны, дифрагируя на неоднородностях среды, дают дифракционную картину, характеризующуюся довольно равномерным распределением интенсивности по всем направлениям. Такую дифракцию на мелких неоднородностях и называют рассеянием света. Среды с явно выраженной оптической неоднородностью носят название мутных сред. К их числу относятся дымы, туманы, суспензии, эмульсии и т.д.

    В результате рассеяния света в боковых направлениях интенсивность в направлении распространения убывает быстрее, чем в случае просто поглощения. Поэтому для мутного вещества наряду с коэффициентом поглощения a, вводят ещё один коэффициент, называемый коэффициентом экстинции. Тогда выражение для интенсивности света, распространяющегося в мутной среде будет следующим:           I = I_o e^{-( a + a ’) l}.

    Если размеры неоднородностей малы по сравнению с длиной световой волны ~0.1l, интенсивность рассеянного света оказывается обратно пропорциональна четвёртой степени длины волны: I ~ 1/ l ⁴. Эта зависимость носит название закона Рэлея. Если размеры неоднородностей сравнимы с длиной волны ~l, то интенсивность рассеянного света будет обратно пропорциональна только квадрату длины волны:       I ~ 1/ l ².

    Даже тщательно очищенные от посторонних примесей и загрязнений жидкости и газы также рассеивают свет, хотя и в меньшей степени. Причиной рассеяния в данном случае являются флуктуации плотности самой жидкости, которые вызваны беспорядочным тепловым движением молекул вещества. Обусловленное этими флуктуациями рассеяние называется молекулярным рассеянием. Молекулярным рассеянием, между прочим, объясняется голубой цвет неба. В атмосфере непрерывно возникают сгущения и разрежения воздуха, которые рассеивают солнечный свет. Поскольку интенсивность рассеяния, в данном случае, обратно пропорциональна квадрату длины волны, то свет с более короткими длинами волн (т.е. голубой, а не красный) рассеивается сильнее и поэтому мы видим голубое, как правило, небо. Однако вечером и утром мы видим не голубую зарю, а красную. Это происходит потому, что когда солнце находится низко над горизонтом, то солнечный свет должен проходить большую толщу воздуха, где поглощается в большей степени коротковолновое излучение, а длинноволновое, т.е. красное – остаётся.

        

ТЕМА 7: Квантовая природа излучения.

§ 19. Тепловое излучение.

    Всем известно, что тела, нагретые до высоких температур, светятся. Свечение тел, обусловленное нагреванием, называется тепловым излучением. Тепловое излучение является самым распространённым в природе и совершается за счёт энергии теплового движения атомов и молекул вещества (т.е. за счёт его внутренней энергии) и свойственно всем телам при температуре выше абсолютного нуля. Тепловое излучение характеризуется сплошным спектром, положение максимума которого зависит от температуры. При высоких температурах излучаются короткие (видимые и ультрафиолетовые) электромагнитные волны. При низких температурах излучаются преимущественно длинные (инфракрасные) волны.

    Тепловое излучение является равновесным. Предположим, что нагретое тело помещено в полость, ограниченную отражающей оболочкой. С течением времени, в результате непрерывного обмена энергией между телом и излучением, наступит равновесие, т.е. тело будет поглощать столько же энергии сколько и излучать. Пусть равновесие по какой-то причине нарушено, например, тело стало больше излучать энергии, чем поглощать. Температура тела начнёт понижаться до тех пор, пока не установится равновесие.

    Количественной характеристикой теплового излучения служит спектральная плотность энергетической светимости – мощность излучения с единицы площади поверхности тела в интервале частот единичной ширины:

R _n,T = , где d W - энергия электромагнитного излучения, испускаемого за единицу времени (мощность излучения) с единицы площади поверхности тела в интервале частот от n до n + d n. Единица спектральной плотности энергетической светимости (R _n,T) – джоуль на метр в квадрате (Дж / м²).

    Зная спектральную плотность энергетической светимости, можно найти интегральную энергетическую светимость или просто энергетическую светимость тела, просуммировав по всем частотам излучения:

R _T = .

    Способность тел поглощать падающее на них излучение характеризуется спектральной поглощательной способностью:

A _n,T = ,

Показывающей, какая доля энергии, приносимой за единицу времени на единицу площади поверхности тела падающими на неё электромагнитными волнами с частотами от v до v + d v, поглощается телом. Спектральная поглощательная способность – величина безразмерная. Величины R_v,T и A_v,T зависят от природы тела, его температуры.

    Тело, способное поглощать полностью при любой температуре всё падающее на него излучение любой частоты, называется чёрным или абсолютно чёрным. Следовательно, спектральная поглощательная способность чёрного тела для всех частот и температур тождественно равна единице (А ^ч._v,T º 1). Абсолютно чёрных тел в природе нет, однако такие тела, как сажа, чёрный бархат и т.д. близки к ним. Идеальной моделью чёрного тела является замкнутая полость с небольшим отверстием - О, внутренняя поверхность которой зачернена. Луч света, попавший внутрь такой полости, испытывает многократные отражения от стенок, в результате чего интенсивность вышедшего излучения оказывается практически равной нулю. Опыт показывает, что при размере отверстия, меньшего 0.1 диаметра самой полости, попадающее в отверстие излучение всех частот полностью поглощается.

    Наряду с понятием чёрного тела используют понятие серого тела – тела, поглощательная способность которого меньше единицы, но одинакова для всех частот и зависит только от температуры, материала и состояния поверхности тела (шероховатости). Таким образом, для серого тела А ^с_v,T = A _T = const<1.

    Исследования теплового излучения сыграло важную роль в создании квантовой теории света, и мы рассмотрим законы, которым оно подчиняется.

§ 20. Закон Кирхгофа.

    Опираясь на второй закон термодинамики, где речь идёт о невозможности тепловых процессов, при которых теплота переходила бы самопроизвольно от тел более холодных к телам более нагретым, Кирхгоф установил количественную связь между спектральной плотностью энергетической светимости и спектральной поглощательной способностью тел. Отношение спектральной плотности энергетической светимости к спектральной поглощательной способности не зависит от природы тела – оно является для всех тел универсальной функцией частоты (длины волны) и температуры (закон Кирхгофа):  

    Для чёрного тела А ^ч_v,T º 1, поэтому из закона Кирхгофа вытекает, R _v,T = r _v,T. Таким образом, универсальная функция Кирхгофа r _v,T есть не что иное, как спектральная плотность энергетической светимости чёрного тела. Следовательно, согласно закону Кирхгофа, для всех тел отношение спектральной плотности энергетической светимости к спектральной поглощательной способности равно спектральной плотности энергетической светимости чёрного тела при той же температуре и частоте.

    Из закона Кирхгофа следует, что спектральная плотность энергетической светимости любого тела в любой области спектра всегда меньше спектральной плотности энергетической светимости чёрного тела (при одинаковых значениях T и v), так как A _v,T < 1 и поэтому R _v,T < r _v,T. Кроме того, если тело при данной температуре T не поглощает электромагнитные волны в интервале частот от v до v + d v, то оно их в этом интервале частот и при температуре T и не излучает, так как при A _v,T = 0 и R _v,T = 0.

    Используя закон Кирхгофа, выражение для энергетической светимости тела можно записать в виде:

R _T = .

Для серого тела:

 

где

R _e =  энергетическая светимость чёрного тела (зависит только от температуры).

    Закон Кирхгофа описывает только тепловое излучение, являясь настолько характерным для него, что может служить критерием для определения природы излучения. Излучение, которое закону Кирхгофа не подчиняется, не является тепловым.

§ 21. Законы излучения чёрного тела (абсолютно чёрного тела).

1. Закон Стефана-Больцмана. Закон Вина. Из закона Кирхгофа следует, что спектральная плотность энергетической светимости чёрного тела является универсальной функцией, поэтому, нахождение её явной зависимости от частоты и температуры является важной задачей теории теплового излучения.

    Австрийский физик Й. Стефан, а чуть позже и Л. Больцман решили эту задачу несколько разными методами, но получили одинаковый результат. Они установили зависимость энергетической светимости чёрного тела от температуры. Получился, так называемый, закон Стефана-Больцмана: R _e = sT⁴, т.е. энергетическая светимость чёрного тела пропорциональна четвёртой степени его термодинамической температуры; s - постоянная Стефана-Больцмана (= 5.67×10^-8 Вт/(м²×K⁴). Закон Стефана-Больцмана, определяя зависимость R_e от температуры, не даёт ответа относительно спектрального состава излучения чёрного тела. Из экспериментальных кривых зависимости функции r (l,T) от длины волны l при различных температурах следует, что распределение энергии в спектре чёрного тела является неравномерным. Все кривые имеют явно выраженный максимум, который по мере повышения температуры смещается в сторону более коротких волн. Площадь, ограниченная кривой зависимости r(l,T) от l и осью абсцисс, пропорциональна энергетической светимости R_e чёрного тела и, следовательно, по закону Стефана-Больцмана, четвёртой степени температуры.

 

    Немецкий физик В.Вин, опираясь на законы термо- и электродинамики, установил зависимость длины волны l_max, соответствующей максимуму функции r (l,T) от температуры T. Согласно закону Вина l_max = b / T, т.е. длина волны l_max, соответствующая максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости r (l,T) чёрного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре, где b – постоянная Вина = 2.9×10^-3 м×К. Данное выражение так и называют – закон смещения Вина, поскольку оно показывает смещение положения максимума функции r(l,T) по мере возрастания температуры. Закон Вина объясняет, почему при понижении температуры нагретых тел в их спектрах всё сильнее преобладает длинноволновое излучение.

    Из рассмотренных законов Стефана-Больцмана и Вина следует, что термодинамический подход к решению задачи о нахождении универсальной функции Кирхгофа r (v,T) не дал желаемых результатов, т.е. зависимость r от частоты (или длины волны) и от температуры не была найдена.

2. Формула Рэлея-Джинса. Следующая попытка теоретического вывода зависимости r (v,T) была предпринята английскими учёными Рэлеем и Джинсом, которые применили к тепловому излучению методы статистической физики, воспользовавшись классическим законом равномерного распределения энергии по степеням свободы. Эта формула имеет следующий вид:  где kT – есть средняя энергия осциллятора с собственной частотой v.

 

 

 

 

    Как показал опыт, данное выражение согласуется с экспериментом только в области малых частот и больших температур. В области больших частот формула Рэлея-Джинса резко расходится с экспериментом, а также с законом смещения Вина. Кроме того, оказалось, что попытка получить закон Стефана-Больцмана из формулы Рэлея-Джинса приводит к абсурду. Действительно, вычисленная с использованием этой формулы энергетическая светимость чёрного тела стремится к ¥.

R_e =

в то время как по закону Стефана-Больцмана R_e пропорциональна четвёртой степени температуры. Этот результат получил название «ультрафиолетовой катастрофы». Таким образом, в рамках классической физики не удалось объяснить законы распределения энергии в спектре чёрного тела.

    Правильное, согласующееся с опытными данными выражение для спектральной плотности энергетической светимости чёрного тела было найдено в 1900 г. великим немецким физиком Максом Планком. Для этого ему пришлось отказаться от положения классической физики, согласно которому энергия любой системы может изменяться только непрерывно, т.е. может принимать сколь угодно близкие значения. Согласно же выдвинутой Планком квантовой гипотезе, атомы излучают энергию не непрерывно, а определёнными порциями – квантами, причём энергия кванта пропорциональна частоте колебания: e_о = hv = hc / l, где h = 6.625×10^-34 Дж×с – постоянная Планка. Так как излучение испускается порциями, то энергия атомного осциллятора e может принимать лишь определённые дискретные значения, кратные целому числу элементарных порций энергии e_о: e = nhv (n = 0,1,2,3,…).

    Формула Планка, которая блестяще согласуется с экспериментальными данными, имеет следующий вид:

r(v,T) =  

Эта формула, ни много ни мало, ознаменовала новую эру в физике. Она описывает распределение энергии в спектрах излучения чёрного тела во всём интервале частот и температур. Впервые Планк изложил теоретический вывод этой формулы в 1900 г. – этот день и стал днём рождения квантовой физики. Всё дело заключается во введении кванта излучения – hv.

    Из формулы Планка выводятся все законы теплового излучения:

1) В области малых частот, т.е. при hv<<kT (энергия кванта мала по сравнению с энергией теплового движения), формула Планка совпадает с формулой Рэлея-Джинса. Разложим экспоненту в ряд, ограничившись двумя членами разложения:

e^hv/kT» 1 +   e^hv/kT – 1»

Подставляя последнее выражение в формулу Планка, получим, что

R (v,T)»  то есть, получили формулу Рэлея-Джинса.

    Из формулы Планка можно вывести и закон Стефана-Больцмана.

R_e =

Введём безразмерную величину x = hv / kT, тогда dx = h d v / kT, и предыдущая формула преобразуется к виду:

R_e =

где s = так как  Таким образом, из формулы Планка следует и закон Стефана-Больцмана.

    Закон смещения Вина получим также из формулы Планка:

r (l,T) =

откуда

Значение l_max, при котором функция достигает максимума, найдём, приравняв нулю эту производную. Тогда, введя x = hc /(kTl_max), получим уравнение:

x e^x – 5(e^x – 1) = 0.

Решение этого трансцендентного уравнения методом последовательных приближений даёт x = 4.965, откуда T l_max = h c/(4.965 k) = b или l_max = b / T, то есть закон Вина.

    Из формулы Планка, зная универсальные постоянные h, k и c, можно вычислить постоянные Стефана-Больцмана s и Вина b. С другой стороны, зная экспериментально найденные значения s и b, можно вычислить значения h и k (именно так и было впервые получено значение постоянной Планка).

    Таким образом, формула Планка не только хорошо согласуется с экспериментом, но и содержит в себе частные законы теплового излучения. Формула Планка является полным решением основной задачи теплового излучения, поставленной Кирхгофом. Её решение стало возможно революционной квантовой гипотезе Планка.

 

ТЕМА 8: Оптическая пирометрия.

§ 22. Оптическая пирометрия

    Законы теплового излучения используются для измерения температуры раскалённых и самосветящихся тел (например, звёзд). Методы измерения высоких температур, использующие зависимость спектральной плотности энергетической светимости тел от температуры, называются методами оптической пирометрии. Приборы же для измерения температуры нагретых тел по интенсивности их теплового излучения в оптическом диапазоне спектра называются пирометрами. В зависимости от того, какой закон теплового излучения используется при измерении температуры тел, различают радиационную, цветовую и яркостную температуры.

1. Радиационная температура. Радиационная температура – это такая температура чёрного тела, при которой его энергетическая светимость R_e равна энергетической светимости R_T исследуемого тела. В данном случае регистрируется энергетическая светимость исследуемого тела и по закону Стефана-Больцмана вычисляется его радиационная температура: T_p =

         Радиационная температура T_p тела всегда меньше его истинной температуры T. Для доказательства этого предположим, что исследуемое тело является серым. Тогда, используя предыдущие выражения, можно записать R A_TR_e = A_TsT⁴.    

    С другой стороны, R sT_p⁴. Из сравнения этих выражений следует, что               T_p =  И, поскольку A_T < 1, то T_p < T, то есть истинная температура всегда выше радиационной.

2. Цветовая температура. Для серых тел (или тел, близких к ним по свойствам) спектральная плотность энергетической светимости R (l,T) = A (T)× r (l,T), где A (T) = const<1. Следовательно, распределение энергии в спектре излучения серого тела такое же, как и в спектре чёрного тела, имеющего ту же температуру, поэтому к серым тела применим закон смещения Вина. Зная длину волны l_max, соответствующую максимальной спектральной плотности энергетической светимости R (l,T) исследуемого тела, можно определить его температуру           T_ц = b / l_max, которая называется цветовой температурой. Для серых тел цветовая температура совпадает с истинной. Для тех тел, которые сильно отличаются от серых (например, обладающих селективным поглощением), понятие цветовой температуры теряет смысл! Таким способом определяется, например, температура на поверхности Солнца (T_ц ~ 6500 K) и звёзд.

3. Яркостная температура. Яркостная температура – T_я, это температура чёрного тела, при которой для определённой длины волны его спектральная плотность энергетической светимости равна спектральной плотности энергетической светимости исследуемого тела, то есть r (l,T_я) = R (l,T), где Т – истинная температура тела. По закону Кирхгофа, для исследуемого тела при длине волны l R (l,T)/ A (l,T) = r (l,T), или A (l,T) = r (l,T_я)/ r (l,T). Так как для нечёрных тел A <1, то r (l,T_я)< r (l,T) и, следовательно, T _я< T, то есть истинная температура тела всегда выше яркостной.     

§ 23. Методы оптического измерения температуры.

1.

1

Метод суммарной радиации. Этот метод основан на измерении суммарной радиации E_T с помощью так называемого радиационного пирометра. Схема такого пирометра рефлекторного типа представлена на рисунке.

			Излучение

 

 

С помощью объектива 4, зеркал 1 и окуляра 5 пирометр визуально наводится на излучающий объект. При этом изображение объекта должно полностью перекрыть весь приёмник 3, сигнал с которого регистрируется прибором 2. В качестве приёмника в радиационных пирометрах чаще всего применяются термопары или болометры. Иногда используют биметаллическую спираль, изгибающуюся при нагревании.

    Испускательная способность E_T, или светимость, пропорциональна яркости. Показания пирометра зависят от яркости изображения. Идеальные оптические системы дают изображение с яркостью, равной яркости источника. Для реальных систем яркость обычно меньше за счёт потерь на отражение, которые, в общем, можно учесть. Таким образом, показания пирометра будут зависеть от яркости, а следовательно, и от температуры наблюдаемого объекта. Проградуировав предварительно пирометр по абсолютно чёрному телу с известной температурой, можно использовать его для измерения неизвестной температуры. Для нечёрного излучения показания радиационного пирометра дают не истинную температуру T, а то значение температуры T_рад., при котором суммарная радиация чёрного тела e_Tрад. равна радиации исследуемого тела E_T при его истинной температуре T:

e_Tрад. = E_T.

Температура T_рад. называется радиационной. Найдём связь между радиационной температурой T_рад. нечёрного тела и его истинной температурой T. Обозначим через a_T отношение суммарной испускательной способности измеряемого тела E_T к испускательной способности чёрного тела e_T при той же температуре. Тогда можно записать, что E_T = a_Te_T. Подставив это значение в выражение для Е_Т, получим      e_Трад = a_Тe_Т.

    Выразив e_Т через температуру согласно закону Стефана-Больцмана, получим

sТ⁴_рад = a_ТsТ⁴, откуда Т =

Значения a_Т хорошо изучены для многих материалов. Для металлов значения a_Т невелики (от 0.1 до 0.3), а для оксидов металлов и угля они значительны (от 0.5 до 0.9). Так как a