Несобственные интегралы с бесконечными пределами

При введении понятия определенного интеграла, а также при рассмотрении задач, связанных с ним, все время делалось предположение, что область интегрирования конечна, а интегрируемая функция на нем непрерывна. Если интервал интегрирования бесконечен или функция в этом интервале имеет точки разрыва, то введенное выше понятие определенного интеграла неприменимо. Однако существует целый ряд задач, когда возникает необходимость распространить понятие определенного интеграла на случаи бесконечных интервалов интегрирования и разрывных функций.

Рассмотрим вначале случай интегралов с бесконечными пределами. Пусть функция  непрерывна на промежутке . Следовательно, можно вычислить любой определенный интеграл с верхним пределом . Величина этого интеграла будет меняться в процессе изменения , но его можно будет вычислить до тех пор, пока  конечное число. Как только верхний предел станет равным бесконечности, -ая интегральная сумма, приводящая в пределе к определенному интегралу, потеряет смысл. Действительно, в этом случае уже нельзя будет ни задать , ни вычислить . Иначе говоря, последняя частичная трапеция при записи -ой интегральной суммы будет всегда иметь бесконечно большое основание и ее площадь вычислить обычными методами не удастся. В этом случае выход из положения заключается в том, что  находится не на бесконечности, а стремится к ней.

Определение 1. Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом с бесконечным пределом от функции  и обозначается .

Итак, по определению . В этом и заключается метод вычисления таких интегралов. Очевидно, что поскольку данное вычисление связано с нахождением предела, то ответ может существовать или нет.

Определение 2. Если в несобственном интеграле предел существует, то интеграл называется сходящимся, если предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.

Очевидно, с геометрической точки зрения несобственный интеграл с бесконечными пределами равен площади неограниченной области, лежащей между осью , кривой  и прямой .

Аналогичным образом определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов:

Следует подчеркнуть, что интеграл  существует только тогда, когда существует каждый из интегралов  и .

Из сказанного выше следует, что несобственный интеграл это не предел интегральной суммы, а предел определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования.

Рассмотрим пример вычисления несобственного интеграла с бесконечным пределом, который, кроме того, применяется и при решении других задач, о чем будет сказано в дальнейшем.

Если , то , поэтому . Следовательно, в этом случае .

Если , то , поэтому  и . Аналогично, если , то .

Таким образом,  сходится, если  и расходится, если .

Несобственные интегралы с бесконечными пределами имеют место, в частности, в физике при вычислении работы по перемещению материальной точки с массой  из бесконечности в точку  под действием силы притяжения. Эта работа называется потенциалом силы притяжения материальной точки  при .