Признаки существования экстремума

1°. Теорема (необходимый признак). Если в окрестности 2δ точки х=с:

1) функция f(х) дифференцируема, 2) значение х=с есть точка экстремума функции f(x), то ее производная в точке с равна нулю, m. e. f '(c) = 0.

Доказательство. Пусть для определенности х=c есть точка максимума (черт. 111). Представим значения независимого переменного х левой полуокрестности точки с в виде с — Δx:, а правой в виде с+ Δx, где 0< Δx < δ. Значение функции f(x) в точке с есть f(c), в левой полуокрестности оно равно f(с — Δx), а в правой f(c + Δx). Значения f(x) в окрестности 2δ точки с поставлены, таким образом, в зависимость от значений Δx, причем значение х = с ^-/₊ Δx неограниченно приближается к числу с, если Δx стремится к нулю.

По определению максимума функции:

f(c- Δx)<f(c) и f(c + Δx)<f(c).

Отсюда:

f(c-Δx)-f(c)<0 и f(c + Δx)-f(с)<0.

Левые части неравенств выражают приращение функции в точке х = с при изменении аргумента соответственно на — Δx и + Δx. Составив отношение приращения функции к приращению аргумента, получаем:

lim ((f(c - Δx)-f(c))/(—Δx)) = f‘(c) и lim ((f(c + Δx)-f(c))/(+Δx)) = f‘(c).  - Δx→0                                                            + Δx→0

(f(c —Δx)—f(с))/(-Δx))>0     (1);                          (f(с + Δx)—f(с)/(+Δx))<0        (2) Оба отношения (1) и (2) имеют один и тот же предел при Δx → 0, так как по условно функция f(x) имеет в точке с определенную произвольную:

 

 

Из неравенства (1) следует, что f '(с) либо положительна, либо равна нулю, а неравенство (2) показы­вает, что f '(с) не может быть положительной. Следовательно,

f‘(c) = 0,

что и требовалось доказать.

2°. Теорема (достаточный признак). Если в окрестности 2δ точки x = с:

1) функция f(x) непрерывна,

2) ее производная, f '(х), слева от точки х = с по­ложительна, а справа отрицательна, то значение х = с есть точка максимума функции.

lim f(c - Δx) = f(c) и lim f(c + Δx) = f(c).  - Δx→0                            + Δx→0

Доказательство. Данная функция непрерывна в точке c, поэтому число f(с) есть общий пре­дел для f(c — Δx) и f(c+Δx) при Δx → 0 (как и в предыдущей теореме, здесь и в последующем 0 < Δx< δ):

 

 

Данная функция f(x) в левой полуокрестности точки с — возрастающая, так как ее производная слева от точки с положительна, а в правой полуокрестности — убывающая, так как ее производная справа от точки с отрицательна (черт.), и вследствие этого ее значения

f(c —Δx) и f(c+Δx)

возрастают при стремлении Δx к нулю (по определению убывающей функции, меньшему значению аргумента отвечает большее значение функции, т. е. при x₁>x₂ f( x₁ )<f( x₂ )).

Другими словами, как f(c — Δx), так и f(c+Δx) приближаются к своему пределу f(с) так, что для каждого значения Δx ≠ 0:

f(c - Δx) < f(c) и f(c + Δx) < f(c).

Но в таком случае f(c) есть максимум функции f(x) в точке х = с.

3°. Так же можно доказать, что если в окрестности 2δ точки х = с:

1) функция f(x) непрерывна, 2) производная f '(x) слева от точки х = с отрицательна, а справа положительна, то значение х = с есть точка минимума функции (черт.).

4°. Как в точке максимума, так и в точке минимума производная равна нулю (1°). Обратное неверно. Функция может не иметь ни максимума, ни минимума в точке, в которой производная равна нулю.

Например, функция у = х³ имеет в точке x =0 производную, равную нулю. Однако в точке х = 0 нет ни максимума, ни минимума, функция у = х³ при всех значениях х, в том числе и при x = 0, возрастает. Отсюда, в точке х=с функция f(x) не имеет на максимума, ни минимума, если при х = с ее производная равна нулю и имеет один и тот же знак как слева, так и справа от точки х = с.

5°. Определение. Значения аргумента х, при которых производная f '(х) равна нулю, называются стационарными точками.

Касательная в стационарных точках параллельна оси Ох. В окрестности точки максимума касательная состав­ляет с осью абсцисс острый угол, если точка лежит слева от точки максимума, и тупой угол, если справа от нее (черт.). В случае минимума, напротив, касательная составляет с осью абсцисс тупой угол, если точка находится слева от точки минимума, и острый, если справа от нее (черт.).