Моделирование линейных замкнутых систем

 

Нужно быть очень внимательным при выборе интервала дискретизации, когда моделируются замкнутые системы. В этих системах текущее значение входного процесса сравнивается со значением выходного процесса, рассчитанного по предыдущим значениям входного процесса. Это экстраполированное значение не должно значительно отличаться от входного процесса.

В противном случае возникают большие ошибки моделирования, а при большом интервале дискретизации процесс может стать неустойчивым. Выбор интервала дискретизации нужно связывать с полосой пропускания замкнутой системы.

Проводя аналогию с теоремой Котельникова, можно потребовать, чтобы Δ f _0,1Δ t = 5 - 10, где Δ f _0,1 - полоса пропускания замкнутой системы по уровню 0,1.

Рассмотрим моделирование непрерывной замкнутой системы на конкретном примере, когда передаточная функция разомкнутой системы

К   р (1 + рТ)

К_р (р) =.                                                         (10)

 

Такая модель часто используется при анализе ошибок в следящей системе.

Запишем дискретную передаточную функцию разомкнутой системы, заменяя интеграторы по методу прямоугольников (2). Для этого преобразуем передаточную функцию разомкнутой системы (5.10), поделив числитель и знаменатель на р ²:

	К / р 2 Т + 1/ р

К_р (р) =.

 

Используя соотношения, приведенные в таблице (5.2), получим:

	К (Δ t)2 z /(z – 1)2 Т + Δ t z /(z – 1)		b1z   z2 + a1z + a2

К_р (z) =                                         =,                          (11)

где b ₁ = K (Δ t) ²/ (T + Δ t), a ₁ = - (2 T + Δ t) / (T + Δ t), a ₂ = T / (T + Δ t).

 

Для моделирования устройства с передаточной функцией (11) используется БИХ-фильтр, коэффициенты числителя которого (Forward Coefficients) представляются массивом из двух элементов (0, b ₁), а коэффициенты знаменателя - массивом из трех элементов (1, a ₁, a ₂).

Специфика использования БИХ-фильтра заключается в том, что неизвестен целиком входной массив Х, а известен только текущий элемент, а следующий элемент рассчитывается с учетом значения текущего элемента выходного массива фильтра. В LabVIEW существует такой фильтр - IIR Filter PtByPt (IIR Filter Point By Point - БИХ-фильтр точка за точкой).

 

Рис.6

 

Вычисления БИХ-фильтром IIR Filter PtByPt производятся в цикле For

Loop (рис.5.6). В этом же цикле генерируется единичное входное воздействие. Автоматическое появление в цепи обратной связи регистра сдвига обусловлено тем, что рассчитанное значение выходного процесса используется для сравнения с входным только в следующем интервале дискретизации, то есть с запаздыванием на интервал дискретизации. В результате вычислений формируется массив переходной характеристики.

Для точного расчета переходной характеристики воспользуемся ВП ODE Linear nth Order Numeric - “Решение линейного обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка в численном виде” (рис.7).

 

Рис.7

 

ВП находит решение в виде суммы экспонент и вычисляет его для заданных точек. Поэтому решение точное.

Вход А представляет собой массив коэффициентов дифференциального уравнения в порядке увеличения степени производной. Коэффициент при производной самой высокой степени считается равным 1 и не требует ввода.

На вход Х0 подается массив начальных условий - начальные значения решения и его n - 1 - й производных.

Вход “число точек" задает число равноудаленных по времени точек между начальным и конечным временем

Выход Х содержит массив значений решения в равномерно расположенных по оси времени точках. Значение времени в этих точках выводится в массиве Times.

Дифференциальное уравнение замкнутой системы запишем по передаточной функции замкнутой системы:

	Кр(р)   1 + Кр (р)		К   Тр2 + р + К

К_з (р) =                                       =                     (12)

 

Дифференциальное уравнение замкнутой системы

Td ² y / dt ² + dy / dt + Ky = Kx

 

Запишем однородное дифференциальное уравнение, учитывая, что коэффициент при высшей производной должен быть равен 1

d ² y / dt ² + (1/ Т) dy / dt + (K / Т) y = 0

 

Для компьютерного решения этого уравнения нужно задать массив А = (К / Т, 1/ Т). Чтобы получить переходную характеристику, нужно задать массив Х = (- 1, 0) и к решению прибавить 1.

Полностью блок-схема программы моделирования замкнутой системы приведена на рис.8.

 

k

K

T

k

dt

Рис.8

Заключение

 

В основе технологии использования LabVIEW лежит комбинированное моделирование систем на ЭВМ, включающее аналитическое, имитационное и натурное.

Для аналитического моделирования характерно то, что алгоритм функционирования системы записывается в виде некоторых аналитических соотношений (алгебраических, интегро-дифференциальных, конечно - разностных и т.п.) или логических условий. При имитационном моделировании алгоритм функционирования системы воспроизводится во времени с сохранением логической структуры и последовательности протекания элементарных явлений, составляющих процесс. В настоящее время имитационное моделирование - наиболее эффективный метод исследования систем, а часто и единственный практически доступный метод получения информации о поведении системы, особенно на этапе ее проектирования.

Натурным моделированием называют проведение исследования на реальном объекте с возможностью вмешательства человека в процесс проведения эксперимента и последующей обработки результатов эксперимента на вычислительной технике.

Отличие модельного эксперимента от реального заключается в том, что в модельном эксперименте могут быть реализованы любые ситуации, в том числе "невозможные" и аварийные, что в силу разных причин бывает недопустимо при работе с реальными объектами. Все представленные виды моделирования могут быть реализованы с использованием системы программирования LabVIEW.

Список литературы

 

1. Н.А. Виноградова, Я.И. Листратов, Е.В. Свиридов. "Разработка прикладного программного обеспечения в среде LabVIEW". Учебное пособие - М.: Издательство МЭИ, 2005.

2. http://www.automationlabs.ru/

3. http://digital. ni.com/

4. http://www.labview.ru/

5. http://ru. wikipedia.org/