Кусочно-линейная аппроксимация

НЕЛИНЕЙНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Метод кусочно-линейной линеаризации применим для нелинейных объектов, статические характеристики которых могут быть представлены в виде суммы отрезков линейных характеристик. Для каждого отрезка характеристики справедливо линейное дифференциальное уравнение [2]. Переход от одного участка к другому осуществляется «припасовыванием» отдельных решений. При этом решение для кон-
ца одного участка является начальным условием для следующего
и т.д.

В результате решение нелинейного дифференциального уравнения заменяется решением совокупности линейных дифференциальных уравнений, соответствующих прямолинейным отрезкам линеаризованной характеристики.

В соответствии с определением данного метода, решение нелинейного уравнения включает в себя в общем случае следующие основные этапы:

1. Исходная нелинейная характеристика заменяется ломаной линией с конечным числом прямолинейных отрезков.

2. Для каждого участка ломаной определяются эквивалентные параметры линейного уравнения.

3. Решается линейная задача для каждого отрезка в отдельности.

Рассмотрим объект, описываемый нелинейным дифференциальным уравнением вида:

, (5)

где – выходная величина;

– входное воздействие;

– нелинейная функция, которую можно представить в виде суммы линейной и нелинейной частей.

Выберем для нелинейной функции два интервала линеаризации [ 0, y ₁], [ 0, y ₂] (рисунок 1), на которых нелинейная функция будет заменена совокупностью линейных функций по следующему правилу:

где – уравнение линейной характеристики;

a_i, b_i – коэффициенты линейного уравнения, подлежащие определению;

i – номер интервала линеаризации.

f ₂ – нелинейная функция; – линейные функции

Рисунок 1 – Кусочная линеаризация нелинейной функции

Для определения коэффициентов линейных уравнений рассмотрим каждый интервал отдельно.

Для 1-го интервала линейная функция примет вид

В точке получим , откуда и .

В точке получим , откуда .

Таким образом, решение нелинейного уравнения (5) на 1-ом интервале сводится к решению линейного уравнения следующего вида:

Для 2-го интервала линейная функция примет вид

В точке получим , откуда .

В точке получим

откуда .

По аналогии коэффициенты линейного уравнения для -го интервала определяются по следующим соотношениям:

, .

Решение нелинейного дифференциального уравнения (5) заменяется совокупностью решений трех линеаризованных дифференциальных уравнений на отдельных интервалах.

Практическая часть

Осуществить кусочно-линейную линеаризацию на 3-х интервалах нелинейного уравнения, описывающего изменение уровня жидкости в гидравлической емкости при наличии притока и стока жидкости [1]: