Метод Лобачевского–Греффе для приближенного решения алгебраических уравнений

Идея метода

Рассмотрим алгебраическое уравнение (1.3).

Предположим, что

, (1.15)

т.е. корни различные по модулю, причем модуль каждого предыдущего корня значительно больше модуля последующего. Другими словами, предположим, что отношение любых двух соседних корней, считая в порядке убывания их номеров, есть величина, малая по модулю:

, (1.16)

где и – малая величина. Такие корни называются отделенными.

Далее из системы (1.7) соотношений между корнями и коэффициентами уравнения (1.3) получаем:

(1.17)

где , ,…, – малые по модулю величины по сравнению с единицей. Пренебрегая в системе (1.17) величинами , будем иметь приближенные соотношения

(1.18)

Откуда находим корни

(1.19)

Точность корней в системе равенств (1.20) зависит от того, насколько малы по модулю величины в соотношениях (1.16)

Чтобы добиться отделения корней, исходя из уравнения (1.3), составляют преобразованное уравнение

, (1.20)

корнями которого , ,…, являются m-e степени корней , ,…, уравнения (1.3).

Если все корни уравнения (1.3) различны и их модули удовлетворяют условию (1.17), то при достаточно большом m корни , ,…, уравнения (1.20) будут отделенными, т.к.

при .

Очевидно, что достаточно построить алгоритм нахождения уравнения, корни которого будут квадратами корней заданного уравнения. Тогда можно будет получить уравнение, корни которого будут равны корням исходного уравнения в степени .

Квадрирование корней

Многочлен (1.3) запишем в следующем виде

И умножим его на многочлен вида

Тогда получим

Сделав замену и умножив на , будет иметь

. (1.21)

Корни многочлена (1.21) связаны с корнями многочлена (1.3) следующим соотношением

Следовательно, интересующее нас уравнение есть

коэффициенты которого вычисляются по формуле (1.22)

, (1.22)

где предполагается, что при .

Применяя последовательно k раз процесс квадрирования корней к многочлену (1.3), получим многочлен

, (1.23)

в котором , , и т.д.

При достаточно больших k можно добиться чтобы для корней уравнения (1.23) выполнялась система

(1.24)

Определим число k, для которого система (1.24) выполняется с заданной точностью.

Допустим, что нужное k уже достигнуто и равенства (1.24) выполняются с принятой точностью. Проделаем еще одно преобразование и найдем многочлен

для которого также выполнена система (1.24) при .

Так как в силу формулы (1.22)

, (1.25)

то, подставив (1.25) в систему (1.24), получим, что абсолютные величины коэффициентов должны быть в принятой точности равны квадратам коэффициентов . Выполнение этих равенств и будет свидетельствовать о том, что необходимое значение k уже было достигнуто на k-м шаге.

Таким образом квадрирование корней уравнения (1.3) следует прекратить, если в принятой точности в правой части формулы (1.24) сохраняется только квадраты коэффициентов, а удвоенная сумма произведений окажется ниже границы точности.

Тогда действительные корни уравнения получаются отделенными и их модули находятся по формуле

(1.26)