Рассмотрим алгебраическое уравнение n-й степени
, (1.3)
где коэффициенты – действительные числа, причем .
В общем случае будем считать, что – комплексная переменная.
Теорема 1.1 (основная теорема алгебры). Алгебраическое уравнение n-й степени (1.3) имеет ровно n корней, действительных и комплексных, при условии, что каждый корень считается столько раз, какова его кратность.
При этом говорят, что корень уравнения (1.3) имеет кратность s, если
, .
Комплексные корни уравнения (1.3) обладают свойством парной сопряженности.
Теорема 1.2. Если коэффициенты алгебраического уравнения (1.3) – действительные, то комплексные корни этого уравнения попарно комплексно-сопряженные, т.е. если ( – действительные числа) есть корень уравнения (1.3), кратности s, то число также является корнем этого уравнения и имеет ту же кратность s.
Следствие. Алгебраическое уравнение нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по меньшей мере один действительный корень.
Оценка границ модулей корней уравнения
Можно дать грубую оценку модулей корней уравнения (1.3)
Теорема 1.3. Пусть
,
где – коэффициенты уравнения (1.3).
Тогда модули всех корней (k=1,…,n) уравнения удовлетворяют неравенству
, (1.4)
т.е. корни этого уравнения на комплексной плоскости расположены внутри круга .
Следствие. Пусть и . Тогда все корни уравнения (1.3) удовлетворяют неравенству
, (1.5)
т.е. корни уравнения (1.3) расположены в круговом кольце .