49.1. Вычислим производную порядка характеристической функции (46.1) при :
, (49.1)
где - начальный момент порядка случайной величины . Пусть существуют все моменты , , тогда существуют производные (49.1) характеристической функции при . Поэтому функцию можно разложить в ряд Тейлора около точки :
. (49.2)
Отметим, что здесь первое слагаемое . Выражение (49.2) называют иногда разложением характеристической функции по моментам, имея ввиду тот факт, что коэффициенты при определяются начальными моментами .
Для непрерывной случайной величины с плотностью вероятности соотношение (49.1) можно представить в виде:
. (49.3)
Таким образом, существование производной порядка характеристической функции при (или начального момента ) определяется поведением плотности вероятности при , от которого зависит существование интеграла (49.3).
49.2. Функция
(49.4)
называется кумулянтной функцией случайной величины . Кумулянтная функция является полной вероятностной характеристикой случайной величины, также, как и . Смысл введения кумулянтной фукнции заключается в том, что эта функция зачастую оказывается наиболее простой среди полных вероятностных характеристик, т.е. среди . Например, для гауссовой случайной величины из (48.5) следует
|
|
. (49.5)
Кумулянтную функцию можно представить рядом, аналогично соотношению (49.2) для характеристической функции:
, (49.6)
где число
(49.7)
называется кумулянтом порядка случайной величины . Из (49.7) следует , поэтому суммирование в (49.6) можно начинать с , а поскольку для любой случайной величины, то не является характеристикой случайной величины.
Вычислим кумулянты для гауссовой случайной величины. Из (49.7), (49.5)
, (49.8)
. (49.9)
Для производная , следовательно, гауссова случайная величина имеет только два кумулянта и отличных от нуля, остальные кумулянты - нулевые. Поэтому ряд (49.6) для гауссовой величины состоит из двух слагаемых.