Показательная функция, её свойства и графики

Показательная функция - математическая функция .

В вещественном случае основание степени  - некоторое неотрицательное вещественное число, а аргументом функции является вещественный показатель степени.

В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.

В самом общем виде - u^v, введена Лейбницем в 1695 г.

Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной).

Свойства ; ; .

Показательные уравнения.

Перейдем непосредственно к показательным уравнениям. Для того чтобы решить показательное уравнение необходимо воспользоваться следующей теоремой: Если степени равны и основания равны, положительны и отличны от единицы, то равны и их показатели степеней. Докажем эту теорему: Пусть a>1 и a^х=a^y.

Докажем, что в этом случае х=y. Допустим противное тому, что требуется доказать, т.е. допустим, что x>у или что x<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a^х<a^y либо a^х>a^y. Оба эти результата противоречат условию теоремы. Следовательно, x=у, что и требовалось доказать.

Также доказывается теорема и для случая, когда 0<a<1. Замечание. Из равенства a^х=a^y не обязательно следует что x=у. Из равенства 1^х=1^y также не обязательно вытекает равенство x=у. Самым простым показательным уравнением является уравнения вида a^х=a^y, где a>0 и a≠1.