Стационарное уравнение Шредингера

Часто встречаются задачи, когда частица движется в стационарном внешнем поле, и ее потенциальная энергия не зависит явно от времени. В этом случае состояние частицы можно описать волновой функцией , зависящей только от координат, которая является решением стационарного уравнения Шредингера:

                                                                                                         ,                                                            (3.1)

где                                                                                                                                                              (3.2)

– оператор Лапласа (в декартовой системе координат), m – масса частицы, Е – ее полная энергия,  – потенциальная энергия частицы. Таким образом  – кинетическя энергия частицы.

Задача 5

Волновая функция микрочастицы с массой m имеет вид:

. Кинетическая энергия частицы равна Е_к. Найти константу a. Принять  Дж×с; E_к = 5 эВ; m = 2,5×10^–29 кг;

b = 6×10¹⁰ м^–1; g = 2×10¹⁰ м^–1.

Решение:

Определим вторые частные производные от волновой функции:

По формуле (3.2) найдем лапласиан волновой функции:

Из уравнения (3.1) найдем a, учитывая, что :

Ответ: 2,83×10¹⁰ м^–1

Задача 6

Волновая функция микрочастицы с массой m имеет вид:

, где i – мнимая единица. Кинетическая энергия частицы равна Е_к. Найти константу a. Принять  Дж×с; E_к = 5 эВ;

m = 2,5×10^–29 кг.

Решение:

Определим вторые частные производные от волновой функции:

По формуле (3.2) найдем лапласиан волновой функции:

Из уравнения (3.1) найдем a, учитывая, что :

Ответ: 6,32×10¹⁰ м^–1

3-1. Волновая функция микрочастицы с массой m имеет вид:

. Найти полную энергию частицы (в эВ), считая потенциальную энергию равной нулю.

Принять  Дж×с; m = 2,5×10^–29 кг;

a = 4×10¹⁰ м^–1; b = 6×10¹⁰ м^–1; g = 2×10¹⁰ м^–1.

Ответ: 3 эВ

3-2. Волновая функция микрочастицы с массой m имеет вид:

. Найти полную энергию частицы (в эВ), считая потенциальную энергию равной нулю.

Принять  Дж×с; m = 2,5×10^–29 кг;

a = 4×10¹⁰ м^–1; b = 2×10¹⁰ м^–1; g = 6×10¹⁰ м^–1.

Ответ: 2 эВ

3-3. Волновая функция микрочастицы с массой m имеет вид:

. Найти полную энергию частицы (в эВ), считая потенциальную энергию равной U = 8 эВ.

Принять  Дж×с; m = 2,5×10^–29 кг;

a = 4×10¹⁰ м^–1; b = 6×10¹⁰ м^–1; g = 2×10¹⁰ м^–1.

Ответ: 1 эВ

3-4. Волновая функция микрочастицы с массой m имеет вид:

а) ; б)  где i – мнимая единица. Найти полную энергию частицы (в эВ), считая потенциальную энергию равной нулю.

Принять  Дж×с; m = 2,5×10^–29 кг;

a = 4×10¹⁰ м^–1; b = 6×10¹⁰ м^–1; g = 2×10¹⁰ м^–1.

Ответ: а) 7 эВ; б) 7 эВ

3-5. Волновая функция микрочастицы с массой m имеет вид:

, где i – мнимая единица. Найти полную энергию частицы (в эВ), считая потенциальную энергию равной U = 6 эВ.

Принять  Дж×с; m = 2,5×10^–29 кг;

a = 4×10¹⁰ м^–1; b = 6×10¹⁰ м^–1; g = 2×10¹⁰ м^–1.

Ответ: 4 эВ

3-6. Волновая функция микрочастицы с массой m имеет вид:

. Кинетическая энергия частицы равна Е. Найти массу частицы. Принять  Дж×с; Е = 5 эВ;

a = 4×10¹⁰ м^–1; b = 6×10¹⁰ м^–1; g = 2×10¹⁰ м^–1.

Ответ: 1,5×10^–29 кг

3-7. Волновая функция микрочастицы с массой m имеет вид:

, где i - мнимая единица. Кинетическая энергия частицы равна Е. Найти массу частицы.

Принять  Дж×с; E = 5 эВ;

a = 4×10¹⁰ м^–1; b = 2×10¹⁰ м^–1; g = 6×10¹⁰ м^–1.

Ответ: 10^–29 кг

3-8. Волновая функция микрочастицы с массой m имеет вид:

. Кинетическая энергия частицы равна Е. Найти массу частицы.    Принять  Дж×с; E = 5 эВ;

a = 5×10¹⁰ м^–1; b = 2×10¹⁰ м^–1; g = 4×10¹⁰ м^–1.

Ответ: 3,13×10^–30 кг

3-9. Волновая функция микрочастицы с массой m имеет вид:

а) ; б) , где i – мнимая единица. Кинетическая энергия частицы равна Е. Найти массу частицы.

Принять  Дж×с; E = 5 эВ;

a = 4×10¹⁰ м^–1; b = 6×10¹⁰ м^–1; g = 2×10¹⁰ м^–1.

Ответы: а) 3,5×10^–29 кг; б) 3,5×10^–29 кг.

3-10. Волновая функция микрочастицы с массой m имеет вид:

, где i – мнимая единица. Кинетическая энергия частицы равна Е. Найти массу частицы.

Принять  Дж×с; E = 5 эВ;

a = 4×10¹⁰ м^–1; b = 6×10¹⁰ м^–1; g = 2×10¹⁰ м^–1.

Ответ: 3,5 ×10^–29 кг

3-11. Волновая функция микрочастицы с массой m имеет вид:

. Кинетическая энергия частицы равна Е. Найти константу a. Принять  Дж×с; Е = 5 эВ;

m = 2,5×10^–29 кг; b = 6×10¹⁰ м^–1; g = 4×10¹⁰ м^–1.

Ответ: 3,46×10¹⁰ м^–1

3-12. Волновая функция микрочастицы с массой m имеет вид:

, где i - мнимая единица. Кинетическая энергия частицы равна Е. Найти константу a. Принять  Дж×с; E = 5 эВ;

m = 2,5×10^–29 кг; b = 8×10¹⁰ м^–1; g = 2×10¹⁰ м^–1.

Ответ: 4,47×10¹⁰ м^–1

3-13. Волновая функция микрочастицы с массой m имеет вид:

, где i – мнимая единица. Найти кинетическую энергию частицы (в эВ). Принять  Дж×с; m = 2,5×10^–29 кг;

a = 4×10¹⁰ м^–1; b = 6×10¹⁰ м^–1.

Ответ: 2,5 эВ

3-14. Волновая функция микрочастицы с массой m имеет вид:

, где i – мнимая единица. Кинетическая энергия частицы равна Е. Найти массу частицы. Принять  Дж×с; E = 5 эВ;

a = 4×10¹⁰ м^–1; g = 2×10¹⁰ м^–1.

Ответ: 1,25×10^–29 кг

3-15. Волновая функция микрочастицы с массой m имеет вид:

, где i – мнимая единица. Кинетическая энергия частицы равна Е. Найти константу a. Принять  Дж×с; E = 5 эВ;

m = 2,5×10^–29 кг; g = 2×10¹⁰ м^–1.

Ответ: 6×10¹⁰ м^–1

3-16. Волновая функция микрочастицы с массой m имеет вид:

.

Кинетическая энергия частицы равна Е.  Дж×с;

а) Найти кинетическую энергию частицы (в эВ).

m = 2,5×10^–29 кг; a = 4×10¹⁰ м^–1.

б) Найти массу частицы. E = 5 эВ; a = 4×10¹⁰ м^–1.

в) Найти константу a. E = 5 эВ; m = 2,5×10^–29 кг.

Ответы: а) 2 эВ; б) 10^–29 кг; в) 6,32×10¹⁰ м^–1

3-17. Волновая функция микрочастицы с массой m имеет вид:

, где i – мнимая единица. Найти кинетическую энергию частицы (в эВ).

Принять  Дж×с; m = 2,5×10^–29 кг; a = 4×10¹⁰ м^–1.

Ответ: 2 эВ

3-18. Волновая функция микрочастицы с массой m имеет вид:

, где i – мнимая единица. Кинетическая энергия частицы равна Е. Найти массу частицы. Принять  Дж×с; E = 5 эВ;

a = 4×10¹⁰ м^–1.

Ответ: 10^–29 кг