На криволинейные поверхности

 

В изучаемом курсе гидравлики рассматриваются криволинейные поверхности, которые имеют один центр кривизны (цилиндрические и сферические), потому что только для таких поверхностей элементарные силы давления имеют одну точку пересечения и, согласно законам механики твердого тела, могут быть приведены к одной результирующей силе. Результирующая сила давления и точка ее приложения на криволинейные поверхности могут быть определены аналитическим и графоаналитическим способами.

А н а л и т и ч е с к и й с п о с о б. Результирующая сила давления на указанные выше криволинейные поверхности определяется по формулам [1, c.47]:

                                      (1.19)

 

где F_x – горизонтальная составляющая силы давления F по направлению оси ОХ (рис.1.12);

 

                                    (1.20)

 

где – площадь проекции криволинейной поверхности на плоскость ZOУ (на рис.1.12 показан след n–n этой плоскости);

 

Рис.1.12. К расчету силы давления

на криволинейную поверхность.

– расстояние по вертикали от центра тяжести площади до пьезометрической плоскости нулевого избыточного давления 0–0, которая принимается как для плоских поверхностей;

– вертикальная составляющая силы давления  по направлению оси OZ;

                                              (1.21)

 

где W – так называемый объем тела давления, т.е. объем, заключенный между криволинейной поверхностью, ее проекцией на свободную поверхность, а при наличии манометрического давления – на пьезометрическую плоскость нулевого избыточного давления 0–0 и вертикальными проектирующими плоскостями, проведенными с точек А и С, ограничивающими криволинейную поверхность (см.рис.1.12). Для цилиндрических поверхностей объем тела давления

 

W = W_т.д×b,                                                (1.22)

 

где W_т.д×– площадь поперечного сечения тела давления и для рис. 1.12 W_т.д = W_АВСDE;

b – ширина образующей цилиндрической поверхности.

Для сферических поверхностей объем тела давления равен объему или части объема сферы.

Направление результирующей силы давления на криволинейную поверхность определяется соотношением

                               (1.23)

 

а координаты центра давления соответственно равны:

 

                              (1.24)

 

Рассматривая силу давления на цилиндрическую поверхность с вертикальной образующей, легко получить так называемую «котельную» формулу (Мариотта), которая дает связь между диаметром d трубы и ее толщиной d стенок, с давлением р в трубопроводе и напряжением s в ее стенках [1, c.50]:

                                                   (1.25)

Г р а ф о а н а л и т и ч е с к и й с п о с о б. Для определения результирующей силы давления на криволинейную поверхность необходимо построить эпюру манометрического давления горизонтальной составляющей и поперечное сечение тела давления (см.рис.1.12). Эпюра манометрического давления горизонтальной составляющей строится аналогично, как на плоскую поверхность, а правило построения поперечного сечения тела давления следует из определения объема тела давления. Составляющая F_x результирующей силы F определяется как объем эпюры манометрического давления, а F_z – по формуле (1.21).

Для наглядного выяснения соотношения составляющих сил F_x и F_z необходимо, чтобы площади эпюры давления и поперечного сечения тела давления были изображены в одинаковом масштабе. С этой целью рекомендуется выбирать масштаб давлений таким образом, чтобы отрезок на эпюре, показывающей давление в точке, был в случае однородной жидкости по величине равен высоте столба жидкости над точкой и выражался в линейном масштабе (например, если масштаб линейных величин 1:100, т.е. 1 см соответствует 1 м, то масштаб давлений равен 1 см – 1×rg кПа; если масштаб линейных величин 1:50, то масштаб давлений 1 см – 0,5×rg кПа и т.д.).

Для нахождения точки приложения результирующей силы давления определяются центры тяжести эпюры манометрического давления горизонтальной составляющей и поперечного сечения тела давления вертикальной составляющей. Результирующая сила  проходит через точку пересечения составляющих и центр кривизны криволинейной поверхности, точка пересечения которой с криволинейной поверхностью является центром давления. Начало координат рекомендуется принимать в центре кривизны (см. рис.1.12).

Пример 1.6. Определить результирующую силу давления воды на затвор шириной в =5 м, перекрывающий канал между двумя смежными камерами (рис.1.13), если глубина воды: в левой камере h₁=6 м; в правой h₂=3 м; радиус затвора R=6 м; h=2 м; а=1 м. Координаты центра давления определить аналитическим и графическим способами.

Решение. Горизонтальная составляющая силы давления F на затвор

                                        (1.26)

где – горизонтальные составляющие силы давления F на затвор соответственно слева и справа (см. рис.1.13).

Для нахождения этих сил криволинейную поверхность затвора АВС проектируем на вертикальные плоскости n₁–n₁ и n₂–n₂ и находим их аналогично, как на плоские поверхности по формуле (1.21):

 

 

Рис.1.13. Расчетная схема.

 

Тогда =490,5–196,2=294,3 кН.

Вертикальная составляющая F_z силы давления F на затвор

 

 

где – вертикальные составляющие силы давления F на затвор соответственно слева и справа (см. рис.1.13), определяемые по зависимостям:

 

 

где l – длина проекции криволинейной поверхности на горизонтальную плоскость.

откуда a = arcsin 0,333=19,5⁰;

откуда b = arcsin 0,667 = 41,8⁰;

g = b – a = 41,8 – 19,5 = 22,3⁰.

Тогда

F_z=302,2 – 125,7=176,5 кН.

 

Результирующая сила давления определяется по формуле (1.26)

=343,2 кН.

Определим координаты центра давления аналитическим способом. Для этого определим направление результирующей силы по соотношению (1.23)

 

 

Координаты центра давления определим по соотношению(1.24)

 

м,

м.

 

При выбранном направлении осей (см. рис.1.13) координаты центра давления должны быть с отрицательным знаком.

Определим координаты центра давления графическим способом. Выбираем масштаб линейных величин 1:100, а масштаб давлений –      1см – 9,81 кПа. Для построения эпюры манометрического давления горизонтальной составляющей F_x определим давление в точках А и С слева и справа затвора:

 

р¢_А  = rg(h₁–h) = 1000×9,81×(6–2) = 39,24 кПа;

р¢_С = rgh₁ = 1000×9,81×6 = 58,86 кПа;

р²_А = rg(h₂–h) = 1000×9,81×(3–2) = 9,81 кПа;

р²_С = rgh₂ = 1000×9,81×3 = 29,43 кПа.

 

Построение эпюр манометрического давления слева и справа на проекции криволинейной поверхности затвора n₁–n₁ и n₂–n₂ производится аналогично, как и на плоскую поверхность. Так как манометрическое давление на затвор слева и справа имеет противоположное направление, то результирующая эпюра горизонтальной составляющей F_x будет равна разности эпюр. На чертеже (рис.1.14) она показана заштрихованным прямоугольником MNLF.

 

 

Рис.1.14. Графическое определение координат центра давления.

 

Поперечные сечения тела давления слева и справа также имеют противоположные направления. Следовательно, результирующее поперечное сечение тела давления будет равно разности и на чертеже (см. рис.1.14) показано заштрихованным прямоугольником BKDE.

Находим центры тяжести результирующей эпюры манометрического давления и поперечного сечения тела давления, через которые проводим направления сил F_x и F_z до их пересечения (точка О¢) и полученную линию продолжаем в левую сторону до пересечения с криволинейной поверхностью затвора. Точка пересечения и является центром давления. Измеряем координаты Х и Z относительно центра О. Графически Х = -5,1 м, Z = -3,1 м, что совпадает с ранее вычисленными. Проверка координат центра давления двумя способами показывает, что расчет сделан верно.

Ответ: F=343,2 кН; Х=–5,1 м; Z=–3,1м.

Более полно решение задач по этой теме приводится в литературе [3, c.32–37; 4,с.26–33].