Арифметические действия

1 2 3 4 5 6 7

Делить на ноль нельзя!

Деление с остатком – a:b=q+r, r – остаток

Возведение в степень –

aⁿ=

Вторая степень называется квадратом, третья степень – кубом, первая степень числа – само число:a¹= a

Свойства арифметических действий

Законы сложения

1.Переместительный (коммутативный): a+b=b+a

2. Сочетательный (ассоциативный): a+b+c =a+(b+c)

Правила вычитания

1.Вычитание суммы из числа: a-(b+c)=a – b – c

2.Вычитание числа из суммы: (a+b) – c =(a - c) + b

3. Прибавление разности: a + (b - c) = a + b – c

4.Вычитание разности: a – (b - c) = a - b + c

Законы умножения

1.Переместительный (коммутативный): ab =ba

2.Сочетательный (ассоциативный): abc = a(bc)

3.Распределительный (относительно суммы, дистрибутивный):

(a + b + c)d = ad + bd + cd

Правила умножения

1.Умножение произведения на число и числа на произведение, например: 3(ab) =(3a)b =(3b)a

2.Умножение разности на число (a -b)c = ac – bc

Простые и составные числа

Всякое число, кроме единицы, которое делится только на единицу и само на себя, называется простым.

Число, которое делится не только на единицу и само на себя, но еще на другие числа, называется составным.

Число 1 занимает особое положение.

Простые числа 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 и т.д.

Составное число разлагается на простые множители единственным образом.

Пример: 5600= 2·2·2·2·2·5·5·7

Признаки делимости

1. На 10. На 10 делятся те, и только те числа, которые оканчиваются нулями.
2. На 2 и 5 делятся те, и только те числа, у которых последняя цифра выражает число, делящееся соответственно на 2 и на 5.
3. На 3 и 9 делятся те, и только те числа, у которых сумма цифр делится соответственно на 3 и на 9.
4. На 4 и 25 делятся те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 4 и на 25.
5. На 8 и 125 делятся все числа, которые оканчиваются тремя нулями, а также у которых три последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 8 и 125.
6. На 7,11 и 13 делятся все те числа, у которых разность между числом, выраженным тремя последними цифрами, и числом, выраженным тремя остальными цифрами (или наоборот), делятся соответственно на 7, 11 или 13.
7. На 6, 12,18, 24:
- на 6 делятся те числа, которые делятся на 2 и на 3;
- на 12 делятся те числа, которые делятся на 3 и на 4;
- на 18 делятся те числа, которые делятся на 2 и на 9.

НОК и НОД

НОК – наибольшим общим делителем нескольких чисел называется наибольшее число, на которое все данные числа делятся без остатка.

НОД – наименьшим общим кратным нескольких чисел называется самое меньшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел.

Алгоритм нахождения НОД:

1. Разложить данные числа на простые множители.

2. Из множителей, входящих в разложение одного из них, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел.

3. Вычислить произведение оставшихся множителей, если это необходимо.

Алгоритм нахождения НОК:

1. Разложить данные числа на простые множители.

2. Выписать разложение одного из них.

3. Добавить недостающие множители из разложений оставшихся чисел.

4. Найти полученное произведение, если это необходимо

Таблица НОК и НОД

(Трудные и часто используемые случаи)

Числа		НОК	НОД
2	4	4	2
3	4	12	1
4	8	8	4
4	16	16	4
4	18	36	2
4	25	100	1
4	125	500	1
5	6	30	1
5	7	35	1
5	12	60	1
6	8	24	2
6	9	18	3
6	15	30	3
6	21	42	3
6	25	150	1
8	12	24	4
8	21	168	1
8	36	72	4
8	28	56	4
9	12	36	3
9	15	45	3
9	54	54	9

Числа		НОК	НОД
10	12	60	2
12	15	60	3
12	16	48	4
12	18	36	6
12	60	60	12
12	75	300	3
14	21	42	7
14	49	98	7
15	20	60	5
15	21	105	3
15	25	75	5
16	56	112	8
18	24	72	3
22	55	110	11
24	60	120	4
25	100	100	25
27	54	54	27
30	45	90	15
33	44	132	11
42	63	126	21
45	75	225	15
72	90	360	9