Описание вариационных функционалов

Универсальные вариационные функционалы

Для построения двумерных сеток.

 

 

Москва, 2001 год

УДК 519.63

 

Универсальные вариационные функционалы для построения двумерных сеток.

Прокопов Г.П.

Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

 

Рассматриваются функционалы, позволяющие получить произвольные невырожденные двумерные сетки при соответствующем назначении или определении в ходе расчета метрических параметров искомой сетки. Рассматриваются вопросы конструирования ортогональных или близких к ним сеток (квазиортогональных), построения дискретных моделей для расчета сеток, алгоритмов для метрических параметров и численного решения задачи минимизации функционалов.

Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проект № 99-01-00922).

 

 

Universal variational functionals for 2D grid generation.

G.P. Prokopov

Preprint, Keldysh Institute of Applied Mathematics, RAS

 

Functionals that allow to obtain arbitrary invertible 2D grids at corresponding assignment or definition of grid metric parameters during the calculation are considered. The generation of orthogonal grids or close to them quasi-orthogonal grids, construction of discrete models to compute grid, algorithms for metric parameters and numerical solution of problem of functional minimization are considered.

This work was supported by Grant 99-01-00922 from the Russian Foundation for Fundamental Investigations.

 

Содержание

                                                                                                                стр.

Введение…………………………………………………………………. 3

§ 1. Описание вариационных функционалов………………………….. 4

§ 2. Об ортогональных, квазиортогональных и квазиизометрических

  сетках………………………………………………………………… 9

§ 3. Переход к дискретной модели……………………………………... 16

§ 4. Назначение метрических параметров……………………………… 20

§ 5. О численных алгоритмах минимизации функционалов………….. 27

§ 6. Разнообразие форм универсальных функционалов и проблема

  неединственности решения………………………………………… 31

Заключение………………………………………………………………. 34

Литература……………………………………………………………….. 35

Введение.

 

Вариационный подход к задаче построения сеток для численного решения разнообразных задач математической физики получил весьма широкое распространение. При таком подходе задача построения сетки в простейшем случае отдельного криволинейного четырехугольника трактуется как дискретная реализация невырожденного отображения параметрической области (квадрата или прямоугольника) на область, в которой требуется построить сетку. Это отображение получается в результате минимизации некоторого вариационного функционала. Неопределенность требований, предъявляемых к сеткам (за исключением одного – невырожденности), порождает большой поток работ, посвященных этим вопросам. Некоторая часть их предлагает различные формы для минимизируемых функционалов.

Совсем недавно одну из таких работ [1] опубликовал С.А. Иваненко и ознакомил автора настоящей статьи с другой своей работой, направленной для публикации. Эта работа [2] содержит принципиальный и важный для практики результат: предложенный в [1] вариационный функционал позволяет реализовать любую невырожденную сетку при соответствующем задании входящих в него параметров, т.е. функционал носит достаточно универсальный характер.

Это, конечно, еще не решает полностью проблему построения двумерных сеток, лишь подменяя ее задачей назначения или определе-ния в ходе расчета некоторых метрических параметров искомой сетки. Однако сам факт их существования и возможностей целенаправленного поиска имеет весьма существенное значение для практики.

Предложенный в [1] функционал почти совпадает с опубликованным еще в 1967 г. в совместной работе [3] С.К. Годунова и автора настоящей статьи. «Почти» означает присутствие в знаменателе функционала [1] дополнительного сомножителя – якобиана искомого отображения. Авторами [3] он был опущен сознательно, чтобы упростить вариационные уравнения Эйлера-Лагранжа для расчета искомой сетки.

Сравнение этих двух функционалов обнаруживает между ними теснейшую связь. Оказывается, функционал из работы [3] имеет столь же универсальный характер. Обсуждение различных связанных с этим вопросов, в первую очередь – о назначении или определении метрических параметров искомой сетки, составляет содержание настоящей работы.

 

Описание вариационных функционалов.

 

В работе [1] для создания алгоритмов построения двумерных разностных сеток предложено использовать вариационный функционал следующего вида:

(1.1)

Здесь {G_lm, l,m=1,2} – элементы симметричной, положительно определенной матрицы G(ξ,η), заданной в каждой точке единичного квадрата Q:{0≤ξ≤1, 0≤η≤1}. Функционал минимизируется на классе функций x(ξ,η), y(ξ,η), являющихся гладким продолжением внутрь квадрата Q заданных на его границе функций (х_Г,у_Г). Они осуществляют гладкое взаимно однозначное отображение границы квадрата Q на границу области Ω, в которой должна быть построена сетка.

Введем в рассмотрение симметричную и положительно определенную матрицу  с элементами

(1.2)      ,    ,        .

Подынтегральное выражение в (1.1) называется плотностью энергии отображения

(1.3)                          .

Следуя автору [1], его можно записать в виде

(1.4)               ,

где Tr означает сумму диагональных элементов матрицы,

    λ₁ и λ₂ – собственные числа матрицы G^-1g.

Из (1.4) следует, что Е≥ 1. Равенство Е =1 достигается тогда и только тогда, когда λ₁ = λ₂. Это можно было бы доказать и непосредственной выкладкой, что и будет сделано несколько позже (см. формулы (2.1)-(2.3)).

Отметим некоторые свойства рассматриваемого функционала.

1.1. Пусть x(ξ,η), y(ξ,η) – произвольное гладкое невырожденное отображение параметрического квадрата Q на область W. Положим

(1.5) , ,

и используем очевидное тождество:

(1.6)         .

Тогда обнаруживаем, что для отображения с такими метрическими параметрами Е º1, F =1, т.е. получаем абсолютное минимальное значение функционала (1.1).

Следовательно, произвольное гладкое невырожденное отображение может быть реализовано как решение задачи минимизации функционала (1.1) с некоторой конкретной матрицей G(ξ,η). Этот факт отмечается в работе [2]. Функционал (1.1) можно рассматривать как универсальный генератор произвольных невырожденных отображений квадрата Q на область W..

Заметим, что элементы матрицы G определены не однозначно. Если таковой является матрица G с элементами G_l,m, то годится и любая матрица с элементами a(ξ,η)×G_l,m, где a(ξ,η) – произвольная достаточно гладкая функция на квадрате Q. Такой произвол устраняется нормировкой: вместо матрицы G удобно ввести матрицу  с элементами

(1.7)   ;        

Ее элементы определяются двумя гладкими функциями f₁(ξ,η) и f₂(ξ,η), которые удовлетворяют условиям:

(1.8) ,  , , f₁f₂³1.

В частности, если полагать

(1.9)                     ,     ,

то реализуются отображения, которые обычно называют гармоническими, как и соответствующие им сетки.

Более существенная причина неоднозначности матриц G: например, для гармонического отображения матрица, определяемая формулами (1.5), совсем не обязана давать результат (1.9), хотя и реализуется одно и то же отображение.

1.2. Рассмотрим теперь вариационный функционал

 

(1.10) ,

где

(1.11) .

Такой функционал, отличающийся от (1.1) отсутствием якобиана искомого отображения в знаменателе подынтегрального выражения, был предложен в работе [3], а затем приведен на стр. 230 монографии [4]. В определенном смысле решение не включать якобиан отображения, избрав для подынтегрального выражения функционала формулу (1.11), было принято сознательно. Авторов [3] беспокоила проблема решения возникающих эллиптических уравнений Эйлера-Лагранжа. Об этом написал С.К. Годунов на стр. 21 своих воспоминаний [5] о создании метода решения газодинамических задач, который получил широкое распространение и теперь его обычно называют методом Годунова. Основания для упомянутого беспокойства есть и в настоящее время.

Согласно теории вариационного исчисления для функционалов с подынтегральной частью , зависящей только от первых производных искомых функций, уравнения Эйлера-Лагранжа имеют вид:

(1.12)

                  .

Поэтому для функционала (1.10)-(1.11) эти уравнения будут следующими:

(1.13)

                  ,

если элементы  матрицы G, нормированные согласно (1.7), являются функциями независимых переменных ξ,η.

Для функционала (1.1) уравнения (1.12) будут иметь гораздо более сложный вид. Это очевидно хотя бы из сравнения соответствующих уравнений для гораздо более простого случая гармонических отображений (1.9). Пока нам нет необходимости выписывать уравнения (1.12) для функционала (1.1), это будет сделано позже в § 5.

1.3. Между функционалами (1.1) и (1.10)-(1.11) существует теснейшая связь. Рассмотрим случай, когда в результате минимизации функционала (1.1) достигается его абсолютный минимум F= 1. Примером такой ситуации является рассмотренная в разделе 1.1. с назначением величин G₁₁, G₂₂, G₁₂ формулами (1.5). Очевидно, что в таких ситуациях минимизация функционала (1.10)-(1.11) достигается на том же (важно!) невырожденном отображении и абсолютный минимум функционала (1.10)-(1.11)

(1.14)       ,

где S – площадь области W. Между тем получение искомого решения с помощью (1.10)-(1.11) несомненно проще и экономнее, чем с помощью (1.1).

Ситуация существенно изменяется в случае, если в процессе минимизации абсолютный минимум функционала не достигается. Тогда минимумы функционалов (1.1) и (1.10)-(1.11) реализуются, как правило, на разных отображениях. Несомненным преимуществом функционала (1.1) является то, что он гарантирует получение невырожденного отображения (другие просто не рассматриваются в качестве допустимых функций при его реализации). Подчеркнем, что это последнее замечание является предметом специальной заботы при численной реализации алгоритма минимизации функционала (1.1).

Недостаток функционала (1.10)-(1.11) – то, что его минимизация может приводить к получению отображения вырожденного (с якобианом, обращающимся в нуль в некоторых точках квадрата Q).

1.4. Подтверждением последнего утверждения является пример отображения, построенный автором и впервые опубликованный в [7]. Для дальнейшего полезно его кратко изложить.

Рассмотрим отображение, описываемое формулами:

(1.15)     ,    

на квадрате Q:{0≤ξ≤1, 0≤η≤1}. Очевидно, что оно удовлетворяет уравнениям Лапласа:

(1.16)                      ,     ,

и, следовательно, минимизирует интеграл Дирихле, который получается при назначении в (1.11) , . Легко видеть, что уравне-ния (1.13) тогда превращаются в (1.16). Якобиан отображения (1.15)

(1.17)     

Поскольку  на участке h =0, , отображение образует складку в окрестности образа нижней границы квадрата Q. Пример (1.15) интересен тем, что форма области W, ограничиваемой образом контура квадрата Q, имеет очень простой вид.

Ввиду важности этого примера в методическом плане заметим еще следующее. Наибольшая глубина проникновения области складки в квадрат Q получается при x=1/2 и достигает координаты , определяемой условием . Из него получается . Следовательно, отображение (1.15) невырождено на прямоугольнике («урезанном квадрате») Q₀: (0£ x £1, h₀ < h £1), а складка занимает часть «полоски» 0 £h£h₀. Можно поступить иначе: если в (1.15) заменить h на (h-h₀)/(1-h₀), то получится отображение, которое будет невырождено на всем параметрическом квадрате Q, но будет вырождаться (образуя складку) на прямоугольнике 0£ x £1, -h₀/(1-h₀)£h£ 1.

Отмеченный выше недостаток функционала (1.10)-(1.11), что в процессе минимизации он может приводить к вырожденному отображению, может превращаться в его большое преимущество. Для практики расчета сеток очень трудной является ситуация, когда не удается имеющимися в распоряжении исполнителя средствами получить невырожденное начальное приближение для сетки (например, в силу сложной формы границ области уже в исходный момент расчета). Способность функционала (1.10)-(1.11) работать с вырожденными отображениями становится его очевидным достоинством в случае, если в итоге минимизации получится отображение невырожденное (возможность таких ситуаций очевидна). Тогда это путь преодоления описанных трудностей, причем средствами, имеющимися в распоряжении исполнителя. Следует однако иметь в виду, что возможно и обратное, т.е. описанный прием не является надежным и может не давать положительного результата даже в относительно простых ситуациях, о чем и свидетельствует приведенный пример (1.15).

1.5. Уместно отметить также относительно недавнее появление работы [6], в которой рассматривался вариационный функционал вида:

(1.18)        ,

похожий на (1.1), но отличающийся от него. Для этого функционала утверждается, что «решение задачи построения допустимого приближения может быть резко упрощено, если заменить исходный функционал на регуляризованный, дискретный аналог которого был бы близок дискретному аналогу исходного функционала в допустимой области, являлся бы бесконечно дифференцируемой функцией от своих аргументов и стремился бы к +¥ по мере удаления от допустимого множества». Согласно работе [6], эта цель достигается, если в знаменателе функционала заменить якобиан J искомого отображения на величину

(1.19)  ,

где e - некоторый малый параметр (e<<1).

Однако и минимизация регуляризованного функционала сталкивается с серьезными трудностями, связанными с неединственностью решения. Вопрос о неединственности будет предметом обсуждения в § 6.