Об ортогональных, квазиортогональных и квазиизометрических сетках

2.1. Предлагая, как уже упоминалось, в [3] и затем в [4], вариационный функционал (1.10)-(1.11), авторы сопровождали его тождеством, в котором легко убедиться непосредственной проверкой:

(2.1) ,

где

(2.2) ,

а величина w (0< w < p) определяется формулой:

(2.3)

Из (2.1) очевидно следует, что для Е, определенной формулой (1.3), выполнено неравенство Е ³1.

Рассмотрим случай, когда в процессе минимизации достигается абсолютный минимум функционала (1.10)-(1.11), равный площади S области W. Тогда искомые функции x(ξ,η), y(ξ,η), его реализующие, удовлетворяют уравнениям А =0, В =0. Последние могут быть записаны так:

(2.4)

Они известны в теории квазиконформных отображений как уравнения Бельтрами.

Обратимся еще раз к примеру отображения (1.15). Поскольку оно получено при , , уравнения (2.4) приобретают вид:

(2.5) , ,

что соответствует классическому конформному отображению. Очевидно, что (1.15) таковым не является (заметим, что оно так и задумывалось в работе [7]):

, h ¹ h +1/2.

Следовательно, приведенный пример иллюстрирует ситуацию, когда абсолютная минимизация функционала не достигается.

Любопытно отметить следующее обстоятельство. Если для отображения (1.15) кропотливо вычислить величины G₁₁, G₂₂, G₁₂ по формулам (1.5) и проверить уравнения (2.4) с этими метрическими параметрами, то оказывается, что уравнения (2.4) будут выполнены! Причем не только на прямоугольнике Q₀, упомянутом в разделе 1.4., где отображение (1.15) невырождено, а и на полном параметрическом квадрате Q, но с одной существенной оговоркой: в качестве величины при нормировке (1.7) берется , вычислен-ная по формуле (1.17). Между тем должно быть . Если бы отображение (1.15) было невырожденным, это не имело бы значения, так как . Однако это не так из-за упомянутой складки отображения. Причина невыполнения уравнений (2.5) в случае , будет обсуждаться ниже в разделе 2.5.

2.2. Особый интерес для практики расчетов представляют сетки, порождаемые ортогональными отображениями, удовлетворяющими условию:

(2.6) .

Предполагая, что такое отображение существует и невырождено, подставим выражения (2.4), которым оно должно удовлетворять, в условие (2.6). После несложных выкладок будем иметь:

Поскольку матрица является положительно определенной, , за исключением тривиального случая .

Следовательно, для выполнения условия g ₁₂=0 необходимо, чтобы .

Таким образом, минимизация функционалов (1.1) или (1.10)-(1.11) дает ортогональную сетку только в случае, если .

Необходимое условие однако не является достаточным. Об этом свидетельствует хотя бы рассмотренный пример отображения (1.15).

2.3. При уравнения (2.4) приобретают вид:

(2.7) , .

Отсюда получаются формулы для назначения величин и :

(2.8) , .

Чтобы преодолеть противоречия или даже аварийные ситуации (например, если окажется, что предполагаемое ортогональное отображение не существует), а также обеспечить выполнение условий (1.8), будем реализовать формулы (2.8) в модифицированном виде:

(2.9)

Здесь e₀ – некоторый управляющий параметр, задающий уровень «срезания» величин , . Нормировка (1.7), если делается, то после (2.9).

2.4. В случае назначения вид функционалов (1.1) и (1.10)-(1.11), естественно, упрощается. Формулы для плотности энергии отображения (1.11) и (1.3) приобретают вид (нормировка (1.7) не обязательна):

(2.10)

В свою очередь, если метрические параметры назначаются формулами (1.5), формулы (2.10) приобретают вид:

(2.11)

(2.12)

Попытка использовать для построения сеток вариационный функционал с подынтегральным выражением (2.11) предпринималась автором еще в работе [9] и представлена на стр.234-235 монографии [4]. Вопросы применения для построения сеток формул (2.11)-(2.12) и их обобщений обсуждались в [8]. Обобщение формул (2.11)-(2.12) состояло в использовании в качестве величины Е степеней полученных выражений. Это делалось в интересах практики расчетов с целью обеспечения большего разнообразия конструируемых сеток.

В связи с этим заслуживает быть отмеченным следующее обстоятельство. Назначим в функционале (1.1) метрические параметры формулами:

(2.13) , ,

Тогда для плотности энергии отображения Е с учетом тождества (1.6) получим:

Поскольку слагаемое –1 при минимизации не играет роли, также как и сомножитель 2, получаем для Е формулу:

(2.14) ,

которая представляет квадрат выписанной в (2.12). Функционал такого вида исследовался в работе [10] и было установлено, что возникающая при этом задача является некорректной. Это подтверждается и числен-ными экспериментами. Поэтому функционал с (2.14) для построения сеток использовался не в «чистом» виде, а в комбинации с функциона-лами другого целевого назначения. В упомянутой работе [8] был избран другой путь преодоления некорректного характера задачи, условно названный автором регуляризацией функционалов. Некоторые результа-ты численных экспериментов по его реализации представлены в [11].

2.5. Осторожные оговорки о предполагаемом существовании ортогонального отображения имеют под собой глубокие основания. Фактически при дискретной реализации, изложение которой будет сделано в следующем параграфе, можно рассчитывать в лучшем случае на получение сетки, лишь в некотором смысле близкой к ортогональной. Будем называть ее квазиортогональной.

Причин для этого несколько. Прежде всего отметим, что при дискретной реализации восполнение линий сетки обычно осуществляется отрезками прямых, соединяющих соседние узлы сетки, т.е. ломаными линиями. Поэтому, строго говоря, ортогональными являются только сетки, составленные из прямоугольных ячеек. Это – причина аппроксимационного характера, ослабевающая при увеличении числа интервалов сетки, выстраиваемой в области с зафиксированными границами.

Вторая причина – недоведение до сходимости итерационных процессов при реализации алгоритмов. Это дорого и нецелесообразно, поскольку вполне приемлемой для расчета может оказаться сетка, получаемая уже на ранней стадии расчета.

Наконец, наиболее глубокая математическая причина состоит в следующем. Как уже отмечалось, при решении задачи может не достигаться абсолютный минимум функционала. Это может случиться, например, по причине «застревания» итерационного процесса в некоторой локальной экстремальной точке.

Однако есть и более серьезная причина, обусловленная математической постановкой задачи. Как уже отмечалось для примера (1.15), при достижении абсолютного минимума вариационного функционала для решения должны быть выполнены уравнения (2.5) классического конформного отображения. Однако они не выполняются. Почему? Согласно известной теореме Римана при конформном отображении можно задавать соответствие только трех точек на контуре физической области и параметрического прообраза. Между тем заданием граничных условий задачи фиксируется определенное соответствие всех точек на контуре. Тем самым множество допустимых функций при минимизации функционала оказывается настолько узким, что не содержит решения задачи о конформном отображении. Между тем именно оно обеспечило бы абсолютную минимизацию функционала.

Можно было бы изменить постановку задачи, разрешив движение точкам на контуре физической области W. Отказ (в производственных интересах) от такой возможности автоматически влечет за собой отказ от ортогональной сетки (в дифференциальной постановке) в пользу «квазиортогональной». Исключение могут составить лишь благоприят-ные ситуации задания удачного соответствия граничных точек.

Изменение постановки задачи с движением точек на контуре физической области W может стать предметом специального обсуждения. Некоторый вариант ее реализации рассматривался на стр.20-23 работы [11].

2.6. Как следует из изложенного выше, существует определенная принципиальная разница в ситуациях, когда в процессе минимизации вариационного функционала достигается его абсолютный минимум или этот минимум не достигается.

В дополнение, несколько опережая избранный порядок изложения, заметим, что в работе [2] для дискретного варианта функционала (1.1) доказано существование единственного решения в случае, если метрические параметры G₁₁, G₂₂, G₁₂ обеспечивают его абсолютный минимум. Вопрос о единственности решения в случае, когда абсолютный минимум не достигается, остается открытым и, более того, подвергается серьезным сомнениям (см. ниже § 6).

Стремление выделить специальный класс квазиконформных отображений, для которого можно обосновать существование и единственность искомого отображения, для функционала вида (1.10)-(1.11) было реализовано в работе [12]. Описание численной реализации соответствующего алгоритма было опубликовано на стр. 237-241 монографии [4].

Продолжение этого направления исследований нашло отражение в ряде работ, в частности, в [13-14]. В них рассматриваются так называемые квазиизометрические отображения.

Отображение x(ξ,η), y(ξ,η) называется квазиизометрическим, если отношение расстояния между любыми (достаточно близкими) точками к расстоянию между их образами ограничено сверху и снизу:

Отображение x(ξ,η), y(ξ,η) единичного квадрата Q на область W называется -отображением, если частные производные непрерывны и удовлетворяют условию Гельдера с показателем m.

Пусть четыре границы криволинейного четырехугольника W достаточно гладкие – удовлетворяют условию Гельдера с показателем m. Обозначим величины углов, которые образуют пары соседних границ в вершинах W. Главный результат работы [13] состоит в следующем.

Если выполнены условия:

, , ,

то любое квазиизометрическое -отображение границ продолжается до квазиизометрического -отображения квадрата Q на область W.

При этом метрика отображения выбирается из пятипараметрического семейства метрик специального вида, заданных в единичном квадрате. Они представляют общий вид метрик, в которых геодезическими являются прямые линии. В [13] доказано, что существует единственная метрика такого вида, в которой единичный квадрат К отображается в W конформно и квазиизометрически.

В работе [14] представлен алгоритм построения квазиизометрических сеток, основанный на этом результате. При его кратком описании придется в интересах сохранения наших обозначений, цитируя [14], поменять роли (u,v) и (x,y) и вместо аргументов (s,t) использовать обозначения (x,h). Искомое квазиизометрическое отображение х (x,h), у (x,h) конструируется как суперпозиция двух отображений: x=x(u,v), y=y(u,v) отображает единичный квадрат K:{0£u, v£1} на W; u=u(x,h), v=v(x,h) отображает квадрат Q на K.

Второе отображение можно представить геометрически как переход от равномерной сетки на Q к сетке на K, образованной прямолинейными отрезками. Они соединяют образы соответствующих граничных точек квадрата Q, находящихся на противоположных сторонах K. Отображение нижней и верхней сторон определяется функциями , , а левой и правой - функциями , . Естественно, предполагаются выполненными условия согласования:

, .

Отображение x(u,v), y(u,v) квадрата K на область W минимизирует функционал вида (1.10)-(1.11), для которого метрика выбирается из упомянутого выше пятипараметрического семейства с параметрами S₁, S₂, S₃, S₄, k. Последний из них k представляет конформный модуль криволинейного четырехугольника W - отношение сторон прямоугольника, на который он может быть конформно отображен.

Искомые функции х(x,h), у(x,h), отображающие Q на W, получаются из условия минимума функционала, также имеющего вид (1.10)-(1.11), который минимизируется по трем группам переменных:

1^о параметрам S₁, S₂, S₃, S₄, k;

2^о управляющим граничным функциям , , , ;