Универсальная формула

Существует универсальная формула, известная в математике под названием формулы Симпсона, с помощью которой можно вычислять площади плоских фигур: параллелограмма, трапеции и треугольника.

Она имеет вид:

где - длина нижнего основания, - длина среднего основания, - длина верхнего основания, h – высота фигуры.

Применяя формулу, имеем:

Для параллелограмма (квадрата, прямоугольника) (рис. 6, а)

для трапеции (рис 6, б)

для треугольника (рис 6, в)

а) б)

в)

Рис. 1.24

1.4.6 Площадь n -угольника

Теорема. Площадь всякого описанного многоугольника равна произведению периметра на половину радиуса.

Рис 1.25

Доказательство. Соединив центр О (рис. 1.25) со всеми вершинами описанного многоугольника, разделим его на треугольники, в которых за основания можно взять стороны многоугольника, а за высоты – радиус круга.

Обозначив этот радиус через R, будем иметь:

, и т. д.

Следовательно,

где Р – периметр прямоугольника.

Теорема доказана.

Следствие. Площадь правильного многоугольника равна произведению периметра на половину апофемы, т. к. всякий правильный многоугольник можно рассматривать как описанный около круга, у которого радиус есть апофема.

Для нахождения площади какого-нибудь неправильного многоугольника нужно его разбить на треугольники, вычислить площадь каждого треугольника в отдельности и результаты сложить. Но здесь возникает следующий вопрос: почему при различных разбиениях многоугольника на треугольники соответствующие суммы окажутся одинаковыми? Если бы это было доказано, то при условии единственности площади прямоугольника (произведения длин его сторон) тем самым была бы построена единственная функция . Это доказательство состоит из ряда этапов и далеко не просто. Проведение такого доказательства в средней школе вряд ли целесообразно. Однако в классах с углубленным изучением математики после формулировки свойств площади важно сообщить, что функция, обладающая этими свойствами, существует и единственна.

Метод, о котором далее пойдёт речь был впервые применён французским математиком Жераром в 1895 году и усовершенствован Лебегом.

Отыскание функции , удовлетворяющей аксиомам площади, проведём в несколько этапов.

I. Выбираем на плоскости произвольную точку О. Указываем выражение для произвольного выбранного многоугольника F в двух формах. Независимость от фиксированной точки О и проверка выполнения аксиом площади на этом этапе не устанавливаются.

Пусть или их продолжения через соответственно. Сопоставим многоугольнику F число с помощью следующей формулы:

, (1.7)

где ставится знак «+», если прилегающая к стороне внутренняя часть многоугольника и точка О находятся в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей , и знак «-» - в противном случае. Для многоугольника, изображённого на рис. 1.26, при i = 1; 5 будет знак «-», а при i = 2; 3; 4; 6 – знак «+».

Рис. 1.26

Отметим, что значение не изменится, если какую-либо сторону многоугольника считать остоящей из нескольких непрерывающихся отрезков.

Так, например (рис. 1.26),

, ,

причём знаки перед выражениями , входящие в формулу (1.7), будут одинаковыми (в данном случае «+»).

Формула (1.7) может быть записана в векторной форме. Обозначим через единичный вектор внешней нормали к стороне . Введём вектор . Точка произвольно фиксирована на прямой, содержащей , обозначим . Покажем, что , где знак выбирается так же, как в формуле (1). (- скалярное произведение векторов и ).

Доказательство проведём для двух сторон прямоугольника, у которых произведение входит в формулу (1) с разными знаками. Для многоугольника, изображённого на рис. 1.27, произведение берётся со знаком «-», а - со знаком «+».

Рис. 1.27

Итак,

Для остальных сторон соотношение доказывается аналогично. Теперь величину можно представить в виде:

. (1.7)

II. Докажем, что величина не зависит от выбора точки О. Возьмём какую-либо точку , вместо точки , сохранив прежними точки , тогда для всех i векторы заменяются векторами . При этом, обозначая , получим (рис. 1.28):

Рис. 1.28

Для произвольного многоугольника найдём разность значений функции и , вычисленных по формуле (1') относительно точек О и О '.

Введём вектор и покажем, что . Сумму векторов найдём по правилу многоугольника. Отложим вектор от какой-либо точки, а каждый следующий от конца предыдущего. В итоге получим замкнутую ломанную, образующую многоугольник, равный многоугольнику F (его можно рассматривать как результат параллельного переноса и поворота на прямой угол многоугольника F). Так как ломаная, построенная на векторах , оказалась замкнутой, то

Из полученного равенства следует, что

Таким образом, величина не зависит от выбора точки О.

III. Покажем, что значения для прямоугольников и треугольников совпадают с известными выражениями их площадей.

Пусть точка О находится в одной из вершин прямоугольника F со сторонами a и b, тогда сумма (1.7) состоит из двух положительных слагаемых и (), следовательно,

В частности, если - квадрат со стороной единичной длины, т. е. , то и выполнена аксиома и площади многоугольников (нормированность площади).

Если точку О поместить в вершину А треугольника F, равного треугольнику АВС, то получим обычную формулу площади треугольника

IV. Покажем, что удовлетворяет аксиоме площади 2, т. е. инвариантности площади. Пусть многоугольник может быть получен из многоугольника движением. Выберем произвольно точку О для многоугольника F. В качестве точки для многоугольника выберем точку, полученную из О тем же движением плоскости, при котором многоугольники и совмещаются. Тогда , и знаки при и совпадают (), а, значит, (по формуле (1.7)).

V. Докажем, что удовлетворяет аксиомам 3 и 1, т. е. аддитивности и положительности площади.

Возьмём прямоугольник , представляющий собой объединение двух неперекрывающихся многоугольников и (рис. 1.29).

Рис. 1.29

Общей частью многоугольников и является отрезок АВ.

Используем формулу (1.7'). Вклады отрезка АВ в суммы и взаимно уничтожаются, так как положительные нормали для отрезка АВ, фигур и противоположно направлены. Таким образом, сумма даёт значение для объединения многоугольников и , т. е. удовлетворяет аксиоме 3. Вывод, очевидно, остаётся справедливым и в случае, если многоугольник является объединением любого конечного числа не перекрывающихся многоугольников (в том числе и для треугольников). Отсюда, в частности, следует, что при разбиении произвольного многоугольника на конечное число n попарно не перекрывающихся треугольников сумма для совокупности составляющих треугольников совпадает с для данного многоугольника, независимо от способа его разбиения. Поскольку площадь треугольника положительна, то удовлетворяет аксиоме 1.