Методы измерения электронной плотности по упругому рассеянию

 

В настоящей работе рассматривается распределение электронной плотности в металлических и ионных кубических кристаллах. Поэтому для наилучшего понимания результатов эксперимента, необходимо было выяснить принципы химической связи в кристаллах.

Химическая связь между атомами в кристаллах возникает за счёт взаимодействия внешних валентных электронов атомов, тогда как внутренние электронные оболочки практически остаются неизменными. На рис. 1.2.1 показаны типичные кривые потенциальной энергии и(r)межатомного взаимодействия. Равновесное расстояние r _р между атомами обычно составляет 0,15-0,40 нм. При сближении атомов на расстояния меньшие, чем равновесное, возникает резкое их отталкивание. Это позволяет в первом приближении приписать атомам для того или иного типа связи определенные "размеры", т. е. некоторые постоянные радиусы, и тем самым перейти от физической модели кристалла к его геометрической модели как системе несжимающихся шариков.

По характеру химической связи кристаллы делятся на четыре основные группы: - ионные кристаллы (напр. NaCl), ковалентные (напр., алмаз, кремний), металлические (металлыи интерметаллические соединения) и молекулярные кристаллы (напр., нафталин).

электронный плотность комптоновский рассеяние

Рис. 1.2. 1Кривые энергии межатомного взаимодействия: I -для сильной (ионной, ковалентной, металлической) связи, II -для слабой (ван-дер-ваальсовой) связи.

 

Рис. 1.2.2 Распределение электронной плотности на линии связи между атомами в кристаллах: а- ионная связь (NaCl), пунктирная линия - область внешних электронных орбит; б - металлическая связь (А1), пунктирная линия - плотность электронов в межатомном пространстве.

 

В ионных кристаллах внешние валентные электроны переходят от атомов металлов, которые становятся положительными ионами (катионами), к атомам неметаллов, которые становятся отрицательными ионами (анионами), что приводит к электростатическому притяжению между ними (рис. 1.2.2). Взаимодействие ионов является кулоновским, но при их соприкосновении начинают играть роль силы отталкивания между электронными оболочками; потенциальная энергия их взаимодействия описывается формулой

 

где r - расстояние между центрами ионов; b и п - параметры, которые могут быть найдены из сжимаемости кристаллов; n =(6-9). В межатомном пространстве в ионных кристаллах электронная плотность r (r)близка к нулю рис. 1.2.2, а.

Потенциальная энергия взаимодействия рассчитывается по формуле:

 

 

где m =4, а, α, С - константы, более точно u _ков получают из решения методами квантовой химии уравнения Шрёдингера.

Природа металлической связи та же, что и ковалентной, т. е. обобществление внешних валентных электронов атомов, однако характер локализации этих электронов иной - они приблизительно равномерно заполняют всё межатомное пространство, образуя общий электронный "газ", который и осуществляет коллективное взаимодействие с заряженными положительно атомами металла (рис. 1.2.2, б)

В молекулярных кристаллах атомы внутри молекул объединены прочными ковалентными связями, а атомы соседних молекул взаимодействуют за счёт более слабых ван-дер-ваальсовых сил, имеющих дипольное и дисперсионное происхождение. Расстояние между атомами соседних молекул 0,35-0,4 нм.

В работе о распределении электронной плотности и потенциала в решетке селенида марганца описывается разностный метод расчета электронной плотности.[4] В качестве исследуемого вещества выбран селенид марганца. По измеренным значениям интенсивностей подсчитывались абсолютные значения структурных амплитуд. При этом вводились поправки на дисперсию и температурный фактор.[5]

Измеренные структурные амплитуды (F) для селенида марганца представлены на рис. 1.2.3, а, где сплошными линиями нанесены теоретические значения F, рассчитанные по Хартри - Фоку для нейтральных атомов [6]. Как видно из рисунка, экспериментальные значения структурных амплитуд определяющиеся разностью f_Se – f_Mn, при малых значениях  лежат выше теоретических.

Подсчитанные по структурным амплитудам функции атомного рассеяния (рис. 1.2.3, б) при малых значениях H, также отличались от теоретических, причем для селена экспериментальные значения лежат выше теоретических, а для марганца ниже теоретических. Таким образом, полученные данные показали, что в решетке селенида марганца

 

Рис. 1.2.3 Структурные амплитуды (а) и функции атомного рассеяния ионов (б)

 

ионы марганца имеют положительный заряд, а ионы селена отрицательный. Для оценки величины заряда ионов был выполнен разностный синтез трехмерного ряда Фурье

 

  (1.2.1)

 

для направлений [100], [110] и [111], результаты которого показали, что электронная плотность в области иона марганца уменьшается ( отрицательно), а в области иона селена увеличивается. Численный расчет показал, что величина заряда ионов в селениде марганца составляет примерно 1,2 ±0,2 эл. По полученным данным f-функций подсчитывалась электронная плотность в решетке MnSe между ионами марганца и селена с использованием разностного метода синтеза трехмерного ряда Фурье: [7]

 

 (1.2.2)

 

где F₁ —структурная амплитуда преимущественно внутренних электронов, функция рассеяния которых аппроксимировалась в виде

 

 (1.2.3)

 

Коэффициенты Z_j и  определялись по данным привязки к f - функции при больших порядках отражения с использованием теоретических значений.

Расчеты электронной плотности показали (рис, 1.2.4), что в направлении [100] между ближайшими ионами Mn-Se минимальное значение плотности электронов составляет примерно 0,15 эл/А³ и в направлении [110] между ионами Мn-Мn оно падает практически до нуля.

Для соединения МnО плотность между ближайшими ионами Мn - О в несколько раз больше, чем в MnSe, и составляет примерно 0,55 эл/А³, Это обстоятельство указывает на то, что в селениде марганца ковалентная составляющая связи значительно меньше, чём в закиси марганца, и MnSe является близким к чисто ионным кристаллам. [8]

 Из измеренных экспериментальных функций атомного рассеяния ионов, входящих в состав соединения селенида марганца, было рассчитано распределение потенциала в решетке данного соединения. Распределение потенциала в решетке выражалось трехмерным рядом Фурье

, (1.2.4)

 

где структурная амплитуда

.

 

Как видно из соотношения (1.2.4), распределение потенциала подсчитывалось непосредственно по экспериментальным значениям f - функций, полученным из данных интенсивности рентгеновских дифракционных спектров.

Расчеты показали, что если f - кривая какого-либо иона аппроксимируется выражением вида

 

,

 

то электронная плотность и потенциал этого иона будут описываться выражением

 

,

,

 

где определяет степень ионизации рассматриваемого иона.

Таким образом, чтобы подсчитать значение потенциала в какой-либо точке решетки, необходимо просуммировать значения потенциалов в данной точке от всех окружающих ионов. Наибольший вклад вносили ионы, расположённые на первой и второй координационных сферах, так как от более удаленных ионов вклады уменьшаются как за счет расстояния, так и за счет взаимной компенсации ионов противоположного знака.

В работе [9] рассматривается распределение валентной электронной плотности в преимущественно ионных кристаллах с различающимися подрешетками Браве. Выяснилось, что в случае кристаллов с различающимися подрешетками Браве анионная подрешетка представляла собой ковалентно связанный каркас, в который помещалась подрешетка металла.

В качестве величины, характеризующей связь подрешеток, использовалась разностная плотность, полученная как результат вычитания из кристаллической электронной плотности плотностей отдельных подрешеток. Разностная плотность исследованных кристаллов оказывалась на порядок меньше кристаллической и подрешеточных, что свидетельствовало о слабой гибридизации подрешеток и преимущественно ионном характере связи между ними.

В работе [10] рассматривается перераспределения электронной плотности в области точечных дефектов в алюминии методом функционала электронной плотности.

Для правильного определения механизмов диффузии говорится о необходимости использования новых, более точных и корректных методов моделирования точечных дефектов и их комплексов в металлах и сплавах.

Одной из важнейших характеристик твердого тела является распределение электронной плотности. Особенно сильно влияет перераспределение электронной плотности на характеристики точечных дефектов, следовательно, его знание и учет являются ключевыми моментами в определении истинных диффузионных механизмов в металлах и сплавах.

В настоящее время наиболее перспективным и точным методом расчета характеристик точечных дефектов в металлах является метод функционала электронной плотности. Это единственный метод, который позволяет учитывать перераспределение электронной плотности в области точечных дефектов. Также к преимуществам данного метода следует отнести тот факт, что для расчетов он не требует экспериментальных данных и подгоночных констант, а основан исключительно на фундаментальных константах, таких как заряд ядра и электронное строение атома. К недостаткам данного метода следует отнести невозможность расчета систем размером более сотен атомов и необходимость использовать достаточно мощные вычислительные системы.

В основу теории функционала электронной плотности положена теорема Хоэнберга и Кона, согласно которой все свойства основного состояния неоднородного взаимодействующего электронного газа могут быть описаны с помощью введения некоторых функционалов от электронной плотности . Вместо обычного гамильтониана системы вводится функционал следующей структуры:

 

 

где v_ext (r) - внешнее поле, в которое входит поле ядер; функционал G[p] является универсальным и не зависит от внешнего поля. [11]

С помощью метода функционала электронной плотности, было проведено моделирование моновакансии в чистом алюминии. Моделирование проводилось для ячейки 4x4x4 (256 атомов).

Для бездефектного алюминия был определен параметр решетки, который равен а_А! = 4,0468 Ǻ, что хорошо согласуется как с другими работами по моделированию, так и с экспериментальными данными.

Для алюминия содержащего моновакансию, была определена ее энергия образования, которая равна 0,66 эВ, что хорошо согласуется с работами, сделанными ранее, а также проведен расчет перераспределения электронной плотности при образовании вакансии (разность функций распределения электронной плотности в бездефектном алюминии и алюминии с вакансией). [12,13]

В работе [14] рассматривается расчет распределения электронной плотности и потенциала в алмазе по рентгенографическим данным. Распределение электронной плотности задается рядом Фурье

 

, (1.2.5)

 

где F_hkl - экспериментально измеренные величины структурных амплитуд, H – вектор обратной решетки, абсолютная величина которого дается соотношением

 

,

R –радиус-вектор точки с координатами (x, y, z), для которой определяется электронная плотность, V – объем элементарной ячейки.

Зная интегральные интенсивности дифракционных максимумов I_hkl, может быть определена следующего соотношения структурная амплитуда F_hkl:

 

,

 

где I₀ – интенсивность первичного рентгеновского пучка, падающего на исследуемый образец, А^* - произведение всех коэффициентов, входящих в выражение для интенсивности брегговского рефлекса.

Ряд (1.2.5) оказывается слабо сходящимся и его вычисление для известных значений структурных амплитуд может привести к непредсказуемым погрешностям. С другой стороны, распределение плотности заряда, как во всем кристалле, так и в его элементарной ячейке может быть описано уравнением Пуассона:

 

 (1.2.6)

 

где j - электростатический потенциал.

Представим электростатический потенциал j рядом Фурье вида (1.2.5)

 

 (1.2.7)

 

Подставляя (1.2.7) в уравнение (1.2.6) и сравнивая с (1.2.5), приходим к соотношению, выражающему  через структурные амплитуды F_hkl:

 

 (1.2.8)

 

С учетом (1.2.8), ряд (1.2.7) принимает вид

 

 (1.2.9)

 

Полученный ряд (1.2.9) сходится существенно быстрее, чем ряд (1.2.5).

Представим ряд (1.2.9) в интегральной форме. Будем использовать функцию Эвальда

 

 (1.2.10)

 

Тогда выражение для потенциала j (x,y,z) = j (R) примет следующий вид:

 (1.2.11)

 

где F(Н)– функция, достаточно хорошо сглаживающая значения структурных амплитуд в точках Н = H _hkl. Правая часть равенства (1.2.11) представляет собой преобразование Фурье произведения двух функций F( H )/ H ²и Z (H). Применяя к выражению (1.2.11) теорему о свертке функций, получим

 

, (1.2.12)

 

где функции f( R ) и g( R ) находятся Фурье-преобразованием функций F( H )/ H ²и Z (H).

Чтобы использовать выражение (1.2.12) для расчетов φ (x, у, z),необходимо знать аналитический вид функции F (H), которая на практике определена только в дискретных точках, где она имеет значение F_hkl. Для нахождения F (H) воспользуемся методом аппроксимации. В качестве аппроксимирующей функции удобно взять следующее выражение:

 

, (1.2.13)

 

где z_i – число электронов на i -ой оболочке в атоме;

 

 (1.2.14)

 

Для функции F (H), данной выражением (1.2.13), может быть найдена функция f (R), входящая в выражение для φ (х, у, z) согласно (1.2.12). Эта функция находится Фурье-преобразованием выражения F (Н)/ Н ². В случае кубических решеток Фурье-преобразование может быть сведено к синус-преобразованию, тогда для f (R) получим следующее выражение:

 

 (1.2.15)

 

Функция g (R) является решеточной и находится Фурье-преобразованием Z (H). В зависимости от количества атомов в элементарной ячейке производится вычисление g(R), для лития она имеет вид:

 

 (1.2.16)

 

где а — постоянная решетки; m ₁, m ₂, m ₃ — целые числа, начиная с нуля; δ (x - m ₁ a), δ (y - m ₂ a), δ (z - m ₃ a) — δ -функции.

Совершив необходимые вычисления в (1.2.12), получаем следующее выражение для функции распределения потенциала:

 

, (1.2.17)

 

Здесь через A ₁, А ₂ обозначены следующие выражения:

 

, (1.2.18)

Значение электростатического потенциала, созданного электронами, получается умножением φ (R) на заряд электрона - е. Потенциал ядер в произвольной точке ячейки V находится суммированием кулоновских потенциалов отдельных ядер. Выражение для потенциала ядер имеет следующий вид:

 

 (1.2.19)

 

где A ₁, А ₂ даются выражениями (1.2.18). Полный потенциал решетки находится суммированием eφ (R) и V (R), т. е.

 

 (1.2.20)

 

Используя формулы (1.2.19), а также значения z_i и найденные значения α_i ², для потенциала кристаллической решетки получают следующее выражение:

 

 (1.2.21)

 

где А_j даются выражениями (1.2.18)

Аналогичные вычисления для электронной плотности дают следующее выражение:

 

 (1.2.22)