Проверим значимость коэффициента регрессии и проведем его интервальную оценку

Значимость коэффициента b₁определим с помощью t-критерия Стьюдента (табличные значения критерия приведены в Приложении 4). Рассчитаем опытное значение критерия:

При этом среднеквадратическое отклонение коэффициента b₁ найдем по формуле:

где остаточное среднеквадратическое отклонение найдем:

Поскольку , то и коэффициент b₁, как и все уравнение регрессии, является значимым.

Таким образом, можно считать, что предполагаемая зависимость стоимости квартиры от ее размера подтвердилась и статистически установлена.

Проверим значимость выбранного коэффициента с помощью критерия Фишера:

Наблюдаемое значение F–критерия превышает табличное: 34,083 > 4,75, т.е. выполнено неравенство , а значит, в 95 % случаев уравнение регрессии статистически значимо и отражает существенную зависимость между размером цены квартиры от ее жилой площади. Уравнение можно признать надежным и значимым, доказывающим наличие исследуемой зависимости.

Доверительный интервал для рассчитывается по формуле:

При выбранной надежности g=0,95 получим:

, откуда .

Таким образом, с надежностью 95% можно утверждать, что истинное значение параметра b₁ будет заключено в пределах от 0,3227 до 0,7193.

7. Рассчитаем прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от среднего уровня.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза численных значений стоимости жилой площади. Но как уже говорилось, точность модели невысока.

В случае увеличения фактора на 10 % от своего среднего значения размер данного увеличения составит:

Прогнозное значение фактора при этом составит:

Точечный прогноз:

Т.е. по модели предсказываем, что если жилая площадь квартиры, увеличившись на 10 % от своего среднего значения, составит 42,12 условных единиц, то ожидаемая (прогнозная) величина ее стоимости составит 31,25 условных единиц.

Доверительный интервал для среднего размера стоимости квартиры при условии, что ее жилая площадь составляет х = 42,12 условных единиц с надежностью g=0,95:

где стандартная ошибка для средних значений:

Т.е. средний размер стоимости жилой площади размером 42,1223 условные единицы находится в границах от 27,2719 до 35,2375 условные единицы.

Доверительный интервал для индивидуальных значений размера стоимости квартир с жилой площадью 42,1223 условные единицы с надежностью g=0,95:

где стандартная ошибка для индивидуальных значений:

Таким образом, если размер жилой площади будет находиться на уровне 42,1223 условные единицы, то возможный размер ее стоимости в 95% случаев может находиться внутри интервала от 16.046 до 46.463 условные единицы. Этот интервал определяет границы, за пределами которых могут оказаться не более 5% значений стоимости квартир, которые могли быть зафиксированы при размере их жилой площади в 42,1223 условные единицы.

Выводы, сделанные ранее подтвердились. Интервальный прогноз не отличается высокой точностью, но вполне пригоден для практического использования.

8. Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:

Статистически значимый коэффициент регрессии b₁ и коэффициент корреляции r_ух свидетельствуют о наличии сильной зависимости стоимости квартиры от размера ее жилой площади. Можно считать, что наличие этой зависимости статистически доказано, направление и общая тенденция отражена уравнением регрессии верно и согласуется с экономической теорией. Высокое значение коэффициента детерминации R² указывает, что на формирование стоимости квартир существенное влияние оказывает именно размер их жилой площади и в значительно меньшей мере (порядка 26 %) - другие экономические факторы.

С другой стороны, относительная ошибка аппроксимации свидетельствует, что модель подобрана не точно: в среднем теоретические (смоделированные данные) отличаются от фактических на 19,8 %. В целом применение полученного уравнения регрессии возможно в случае повышения его прогностической силы и практической ценности за счет увеличения объема выборки.

Задача 2

В исходной таблице (вариант 8) представлены статистические данные о различных параметрах уровня жизни населения в 2004 г.:

№	Страны	Х₁	Х₃	Х₆	Х₈	Х₉	У
1	Россия	55	30	20,4	28	124	84,98
2	Австралия	100	47	71,4	121	87	30,56
3	Австрия	93	37	78,7	146	74	38,42
4	Азербайджан	20	12,4	12,1	52	141	60,34
5	Армения	20	4,3	10,9	72	134	60,22
6	Белоруссия	72	28	20,4	38	120	60,79
7	Бельгия	85	48	79,7	83	72	29,82
8	Болгария	65	18	17,3	92	156	70,57
9	Великобритания	67	39	69,7	91	91	34,51
10	Венгрия	73	40	24,5	73	106	64,73
11	Германия	88	35	76,2	138	73	36,63
12	Греция	83	24	44,4	99	108	32,84
13	Грузия	21	36	11,3	55	140	62,64
14	Дания	98	38	79,2	89	77	34,07
15	Ирландия	99	31	57	87	102	39,27
16	Испания	89	26	54,8	103	72	28,46
17	Италия	84	27	72,1	169	118	30,27
18	Казахстан	61	19,2	13,4	10	191	69,04
19	Канада	98	44	79,9	123	77	25,42
20	Киргизия	46	23,5	11,2	20	134	53,13
21	Нидерланды	86	37	72,4	176	59	28,00
22	Португалия	73	27	48,6	150	83	38,79
23	США	115	29	100	99	103	32,04
24	Финляндия	62	36	63,9	82	94	38,58
25	Франция	91	36	77,5	84	85	18,51
26	Чехия	82	45	34,7	65	114	57,62
27	Япония	40	20	83,5	60	119	20,80
∑		1966	837,4	1385,2	2405	2854	1181,05
		72,81	31,01	51,3	89,07	105,7	43,74

Х₁- потребление мяса и мясопродуктов на душу населения (кг),

Х₃- потребление сахара на душу населения (кг),

Х₆- оценка ВВП по паритету покупательной способности в 1994 г. на душу населения (в % к США),

Х₈- потребление фруктов и ягод на душу населения (кг),

Х₉- потребление хлебных продуктов на душу населения (кг),

У – смертность населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения.

Требуется:

1) Рассчитать параметры линейного уравнения множественной регрессии.

2) Определить сравнительную оценку влияния факторов на результативный показатель с помощью коэффициентов эластичности.

3) Оценить статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия. Адекватность модели проверить с помощью F-критерия.

4) Оценить качество построенного уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации.

5) Используя метод многошагового регрессионного анализа, построить регрессионную модель только со значимыми факторами и оценить ее параметры.

6) Определить прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80 % от их максимальных значений.

7) Рассчитать ошибки и доверительный интервал прогноза для уровня значимости и .

8) Сделать выводы по полученным результатам.

Решение:

1. Рассчитаем параметры линейного уравнения множественной регрессии

Для удобства в ходе решения будем достраивать исходную таблицу данных до вспомогательной (см. Приложение 6), округляя и занося в ее промежуточные результаты. Уравнение множественной линейной регрессии для нашего случая имеет общий вид:

Параметры данного уравнения найдем с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel (результаты вычисления – в Приложении 7):

b₀= 40,0007992

b₁= 0,071828228

b₂= 0,295651645

b₃= -0,500054859

b₄= -0,500054859

b₅= 0,15192311

Получаем уравнение линейной множественной регрессии:

2. Определим сравнительную оценку влияния факторов на результативный показатель с помощью коэффициентов эластичности.

Т.к. факторы имеют различную природу и размерность, непосредственная оценка их влияния затруднена. Поэтому для каждого из них необходимо рассчитать свой коэффициент эластичности.

Для расчета коэффициентов найдем средние значения факторов и результативного показателя:

Подставим полученные значения в формулу:

Таким образом, смертность населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения увеличивается примерно на 0,12 % при увеличении потребления мяса и мясопродуктов на душу населения на 1 %, на 0,21% при увеличении на 1% потребления сахара на душу населения и на 0,37% при увеличении потребления хлебных продуктов на душу населения на 1%.

А при увеличении оценки ВВП по паритету покупательной способности в 1994 г. на душу населения на 1% результативный показатель, наоборот, уменьшится на 0,59%. Увеличение же потребления фруктов и ягод на душу населения на 1% повлечет снижение смертности примерно на 1,02%.

3. Оценим статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия.

Расчетные значения критерия для пяти заданных параметров получили с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel (результаты вычисления – в Приложении 7):