А – предел последовательности

Т.к. равносильно , а это означает принадлежность интервалу х_n є (a – ε; a+ ε) или, что то же самое, принадлежит ε – окрестности точки а. Тогда мы можем дать ещё одно определение сходящейся числовой последовательности.

Определение 7: числовая последовательность {х_п} называется сходящейся, если существует такая точка а, что в любой достаточно малой ε – окрестности этой точки находится сколь угодно элементов этой последовательности, начиная с некоторого номера N.

Замечание: согласно определениям (5) и (6), если а – предел последовательности {х_п}, то x_п – а является элементом бесконечно малой последовательности, т.е. x_п – а = α_n, где α_n – элемент бесконечно малой последовательности. Следовательно, x_п = а +α_n, и тогда мы в праве утверждать, что если числовая последовательность {х_п} сходится, то её всегда можно представить в виде суммы своего предела и элемента бесконечно малой последовательности.

Верно и обратное утверждение: если любой элемент последовательности {х_п} можно представить в виде суммы постоянного числа и элемента бесконечно малой последовательности, то это постоянная и есть предел данной последовательности.