2020-01-14
253
Побудована нами не порожня множина вільних векторів, у якій введені операції додавання векторів, множення вектора на число, що задовольняють зазначені властивості, а саме:
, 
: + = + ;
, 
, 
:( + 
) + = + ( + );
, : 
+ = + = ;
(- 
): + (- ) = ;
: 1* = 
;
α, β 
R, : α(β ) = (αβ) ;
α, β R, 
: (α + β) = α + β ;
α 
R, , : α( + ) = α + α – називається векторним простором. Позначимо його 
.
У векторних просторах розглядається поняття базису векторного простору і розмірності. Введемо означення цих понять.
Означення: базисом векторного простору називається система векторів, яка задана в певному порядку і задовольняє умови:
1) ця система векторів лінійно незалежна;
2) будь-який інший вектор із даного векторного простору є лінійною комбінацією даної системи векторів.
Інакше кажучи, базисом векторного простору називається максимальна система лінійно незалежних векторів даного векторного простору.
Означення: розмірністю векторного простору називається число векторів базису, тобто максимальна кількість лінійно незалежних векторів.
З попередніх теорем випливає, що базисом побудованого нами векторного простору є будь-яка система трьох не компланарних векторів, взятих у певному порядку. Справді, система будь-яких трьох некомланарних векторів лінійно незалежна, а за теоремою про розклад вектора за трьома не компланарними векторами будь-який вектор із даного векторного простору є лінійною комбінацією даної системи векторів.
Тому розмірність даного простору дорівнює трьом. У зв’язку з цим побудований нами векторний простір називається тривимірним векторним простором.
Означення: нехай L – непорожня множина векторів із векторного простору 
. Множина L називається векторним підпростором простору , якщо виконуються такі умови:
1) якщо 
L, L, то + L;
2) якщо L, то і α L α R.
Тобто підмножина L простору буде векторним підпростором простору , якщо вона сама є векторним простором.
