Методи розв’язку задачі Коші

Теоретичні відомості

Диференційним рівнянням називають рівняння, що зв'язує незалежну змінну х, шукану функцію y=f(x) та її похідні y', y'',…, y⁽ⁿ⁾.

В залежності від числа незалежних змінних та типу похідних, що входять до них диференційні рівняння діляться на звичайні диференційні рівняння, що мають одну незалежну змінну та похідні по ній, та рівняння в частинних похідних, маючих декілька незалежних змінних та похідні (частинні) по ним.

Існує багато методів для знаходження розв’язків диференційних рівнянь через елементарні чи спеціальні функції. Такі методи називають аналітичними, чи класичними, але в більшості задач вони чи зовсім непридатні, чи приводять до дуже складних розрахунків. При заданні коефіціентів чи функцій в диференційних рівняннях у вигляді таблиць експерементальних даних використання класичних методів принципово неможливо. Це обумовлює важливість чисельних методів, що розглядають рішення диференційних рівнянь, це є основою при складанні алгоритмів та програм для ЕОМ.

Звичайне диференційне рівняння має нескінчену множину розв’язків. Для відшукання якогось конкретного розв’язку потрібні додаткові умови. Ці умови можуть бути різними. У випадку, коли додаткові умови задаються при одному значенні незалежної змінної, має місце задача Коші (задача з початковими умовами). Якщо ж умови задаються при двох чи більше значеннях незалежної змінної, то задача називається крайовою. В задачі Коші додаткові умови називаються початковими, а в крайовій – граничними. При рішенні цих задач використовуються різні методи та алгоритми.

Сформулюємо задачу Коші. Нехай дано диференційне рівняння:  та початкова умова . Потрібно знайти функцію на відрізку від  до , таку, що задовольняє як дане рівняння, так і початкову умову.

Крайову задачу розглянемо на прикладі звичайного диференційного рівняння другого порядку  при граничних умовах . Методи розв’язків рівнянь більш високих порядків аналогічні.

Методи розв’язку задачі Коші.

В основі чисельних методів розв’язку диференційних рівнянь лежить розклад функції  в ряд Тейлора в околі вихідної точки : , де - відстань (крок) між вихідною точкою  та точкою , в якій шукають розв’язок.

Причому в різних методах враховується різна кількість членів розкладу, що визначає точність розрахунків. Вважають, що порядок похобки рівний , якщо існує таке число , та , де - локальна помилка; - крок дискретизації.

Число  не залежить від номера кроку та його велечини, а визначається похідними і довжиною інтервала. При апроксимації розв’язку рядами Тейлора воно зв’язане зі степінню членів ряду, що відкидаються.

Методи розв’язку задачі Коші можна розділити на дві групи: однокрокові, в яких для знаходження слідуючої точки на кривій  потрібна інформація лише про один попередній крок (методи Ейлера та Рунге-Кутта); багатокрокові (прогнозу та корекції), в яких для знаходження слідуючої точки на кривій  потрібна інформація більш ніж про одну із попередніх точок.