Представление схемы переменных состояний в форме Коши

 

Представим систему дифференциальных уравнений в векторно-матричной форме.

 

Z′ (t) = A*Z (t) +B*U (t), (1.3)

 

где матрица А - динамическая матрица объекта управления, которая характеризует динамику объекта;

Z (t) - вектор фазового состояния;

В - матрица управляющих (возмущающих) объекта, которая характеризует степень возмущения (управления);

U (t) - вектор возмущения.

Для нахождения динамической матрицы, вектора состояния, матрицы управляющих объекта, вектора возмущений введем некоторую переменную Z (t), и воспользуемся преобразованием Коши для системы дифференциальных уравнений (1.1):

 

, (1.4)

 

тогда система (1.2) примет вид:

 

. (1.5)

 

Перейдем от системы уравнений (1.5) к векторно-матричной форме:

 

. (1.6)

 

Таким образом, выражение (1.3) описывает поведение объекта управления в переменных в параметрическом и фазовом пространствах.

 

Нахождение передаточных функций звеньев системы управления

 

Для того чтобы найти передаточные функции системы запишем исходную систему в операторной форме

 

 (1.7)

 

и разрешим её относительно реакций динамического процесса у₁ и у₂

 

, (1.8)

 

откуда находим для первого уравнения

 

, (1.9)

или ,

где ; ; ;

 

для второго уравнения

 

 (1.20)

или ,

где ; .

 

Подставляя значения коэффициентов находим параметры звеньев системы

 

k₁ = 0,5; k₂ = 0,42;

T₁ = 44 с; Т₂ = 0,1 с;

Т₃ = 0,025 с.

 

Полученная система описывает структуру исходного динамического процесса в передаточных функциях. Структура процесса имеет следующий вид

Рисунок 2 - Структура исходного динамического процесса

 

Исходя из того, что показатель астатизма pⁿ выбираем пропорциональный регулятор.

Коэффициент передачи всей системы равен

 

k_v = 1/c = 1/0,008 = 125;

k_v = k₁∙k₂∙k_p; (1.21)

k_p = k_v/ (k₁∙k₂) = 595,28.

 

Находим частоты сопряжения исходной разомкнутой системы

 

ω_i = 1/Т_i, где i = 1, 2, …,

тогда ω₁ = 0,0227 с^-1;

ω₂ = 10 с^-1;

ω₃ = 40 с^-1.

 

Передаточная функция всей системы будет иметь вид

 

W_пс (p) = W₁ (p) ∙W₂ (p) ∙W_р (p) (1.22)