РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В СВЕТОВОДАХ
Падение плоской волны на границу раздела двух сред
Рассмотрим плоскую границу раздела двух сред с различными диэлектрическими проницаемостями и . Индексы i, r, t – относятся к падающей, отраженной и прошедшей волнам.
Нормальное падение
Для простоты напряженности поля плоской волны будем рассматривать как скалярные величины, подразумевая, что соответствующие векторы направлены так, как показано на рис. 1 (в начальный момент напряженность направлена в сторону отрицательного направления оси y, а напряженность – в сторону положительного направления оси z).
Волновые сопротивления и компоненты поля связаны следующими соотношениями
. (1)
Рис. 1. − Отражение плоской волны от границы раздела двух сред при
нормальном падении
Знак “–“ для отраженной волны появляется вследствие учета изменения направления распространения волны и принятой скалярной формы записи компонент поля.
|
|
На границе раздела должны выполняться условия непрерывности касательных составляющих электрического и магнитного полей
. (2)
Последние выражения позволяют получить полезное соотношение
.
При отражении волны в среде 1 от границы со средой 2 полное волновое сопротивление (волновое сопротивления для полного поля) равно волновому сопротивлению среды 2.
Из (1) и (2) легко получить коэффициенты отражения и прохождения для напряженности электрического поля:
. (3)
Учитывая выражения для показателей преломления
получаем классические формулы
, (4)
где .
Выражение для вектора Пойнтинга и (3) позволяют получить формулы для коэффициентов отражения и прохождения по мощности
,
Прямые вычисления показывают, что
,
и это находится в полном согласии с законом сохранения энергии.
Произвольное падение на границу раздела
В этом случае необходимо рассмотреть два случая: Е – поляризации и Н- поляризации, которые отличаются ориентацией вектора Е падающей волны. При Е поляризации вектор в плоскости падения лежит вектор Е, а при Н поляризации – вектор Н. Однако рассмотрения двух случаев можно избежать, если воспользоваться принципом двойственности для уравнений Максвелла, согласно которому система уравнений Максвелла инвариантна относительно замены .
|
|
Этот принцип в нашем случае позволяет:
а) найти коэффициенты отражение и прохождения для магнитных полей, зная эти коэффициенты для электрических полей,
б) получить соответствующие выражения для случая Е поляризации, зная выражения для Н поляризации и наоборот.
Поэтому ниже мы рассмотрим только случай Н поляризации.
Рис. 2. − Наклонное падение плоской волны
Для упрощения процедуры нахождения R и T при наклонном падении плоской волны на границу раздела воспользуемся ещё одним соображением. В случае произвольного падения (рис. 2) можно всегда разложить волну на две плоские волны: одну, распространяющуюся в направлении ” -x”, вторую − в положительном направлении оси z. Для этого достаточно разложить поле Н в плоскости падения (пл. XZ) на две компоненты: Hx и Hz. Первая образует плоскую волну, распространяющуюся вдоль границы раздела и она не претерпевает никакого отражения. Вторая – плоскую волну, нормально падающую на границу раздела (с волновым числом , согласно рис. 2) и приводящую к появлению отраженной и прошедшей волн. Таким образом, мы опять приходим к нормальному падению и можем воспользоваться уже полученными ранее выражениями. Однако при этом нужно учесть, что для рассматриваемой нормально падающей волны, волновые сопротивления будут определяться уже другими соотношениями, которые имеют следующий вид:
Н поляризация
,
, (5)
Е поляризация
,
, (6)
Рис. 3. − Зависимость коэффициента отражения от угла падения
Учитывая все сказанное, по (3) и (4) с учетом (5) и (6) получим следующие зависимости коэффициентов отражения и прохождения от углов падения q и преломления j.
Н поляризация
, , (7)
Е поляризация
, . (8)
Это и есть классические формулы Френеля, которые мы получили достаточно просто.
Кривые зависимости коэффициентов отражения и прохождения от угла падения приведены на рис. 3.
Из (7), (8) и рис. 3. следуют известные закономерности.
1. Для Е поляризованной волны существует особый угол падения qB, называемый углом Брюстера, при котором коэффициент отражения равен нулю. Это явление часто используют для получения поляризованного света при отражении (в частности, в газовых лазерах с этой целью используют окно Брюстера).
2. В случае нормального падения Н поляризованной волны на оптически более плотную среду (h>1) она приобретает при отражении фазовый сдвиг, равный p.
3. При отражении Н поляризованной волны от поверхности оптически менее плотной среды (h<1) имеет место предельный угол падения qс, при котором выполняется условие
, (9)
и который соответствует полному внутреннему отражению, поскольку в этом случае .
Физические процессы, происходящие при углах больших чем q=qс, требуют более тщательного рассмотрения в силу их важности для анализа направленного распространения волн.