Введение
Дифференциальные уравнения.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.
Дифференциальное уравнение первого порядка.
Рассмотрим вопросы теории дифференциальных уравнений на примере уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной, т.е. таких, которые допускают представление в виде
(1.1)
где f - некоторая функция нескольких переменных.
Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения. Пусть в дифференциальном уравнении (1.1) функция и ее частная производная непрерывны на открытом множестве Г координатной плоскости Оху. Тогда:
.Для всякой точки множества Г найдется решение y=y(x) уравнения(1.1),удовлетворяющее условию y( );
2.Если два решения y= (x) и y= (x) уравнения (1.1) совпадают хотя бы для одного значения x= , т.е. если то эти решения совпадают для всех тех значений переменной х, для которых они определены. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде
g(y) (1.2)
или в виде
M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0, (1.3)
где , M(x), P(x) - некоторые функции переменной х, g(y), N(y), Q(y) - функции переменной у.
(рис.1)
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Для решения такого уравнения его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной х окажутся в одной части равенства, а переменной у - в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного равенства. Например из (1.2) следует, что = и = . Выполняя интегрирование, приходим к решению уравнения (1.2)
Пример 1. Решить уравнение dx=xydy.
Решение. Разделив левую и правую части уравнения на выражение х
(при х ≠0), приходим к равенству . Интегрируя, получим
(a)
или
+ , (б)
(так как интеграл в левой части (а) табличный, а интеграл в правой части может быть найден, например, заменой = t, , 2ydy=2tdt и .
Решение (б) перепишем в виде x=± или x=C , где C=± .