Аналітично-розрахункова частина

Вступ

 

Технологічний процес включає етапи конструювання, виробництва та експлуатації. Основні технологічні задачі виробництва електронної апаратури можуть бути сформовані лише на основі їх конструкторсько-технологічному аналізі. Етап конструювання є самим важливим з точки зору надійності, адже на інших етапах підвищити надійність неможливо.

Виробничий процес - це сукупність дій внаслідок яких матеріали, деталі, сировина, що надходять на підприємство перетворюються у готові вироби. В порівнянні з іншими галузями виробництво електронних апаратів найбільш складне і сучасне. Його особливості визначаються тим що електронна апаратура є складним апаратом. Вона налічує більше ста тисяч комплектуючих. Для реалізації даного процесу виробництва використовується велика кількість різноманітних матеріалів та пристроїв. Щоб забезпечити ефективність процесу на даному етапі потрібно забезпечити високу культуру виробництва, шляхом дотримання технологічного процесу, використання автоматизації, ритмічності роботи. Також потрібно впровадити відповідну систему контролю.

Для нормальної роботи підприємства потрібно правильно спланувати виробництво та розрахувати всі можливі варіанти його протікання. Використання комп’ютерів та відповідних програмних продуктів дозволяє значно спростити подібні операції. З їх допомогою можна обробляти значно більший об’єм інформації. Крім того, точність обрахунків на ЕОМ є на кілька порядків вищою, чим обрахунки проведені людиною вручну.

Для проведення обрахунків створюються різні моделі досліджуваних об’єктів, здійснюється їх порівняння та аналіз. У даній курсовій роботі використовуються такі методи аналізу та оптимізації технологічних процесів як: моделі лінійного програмування, дисперсійний аналіз, моделі систем масового обслуговування.

Основні характеристики моделей лінійного програмування, методика їх розрахунку

 

Аналіз сучасного стану питання та обґрунтування методу розрахунку і оптимізації

 

Лінійне програмування - це розділ математичного програмування, який використовується при розробці методів відшукання екстремуму лінійних функцій декількох змінних при наявності додаткових обмеженнях, що накладаються на змінні.

Лінійне програмування є одним з найбільш популярних методом оптимізації. До числа задач лінійного програмування можна віднести задачі:

· раціонального використовування сировини і матеріалів; задачі оптимального розкрою;

·   оптимізації виробничої програми підприємств;

·   оптимального розміщення і концентрації виробництва;

·   складання оптимального плану перевезень, роботи транспорту;

·   управління виробничими запасами;

·   і багато інших, що належать сфері оптимального планування. [1]

Задачі лінійного програмування є найпростішими і добре вивченими. Для них характерний: показник ефективності (цільова функція), який виражається лінійною залежністю; обмеження на рішення - лінійна рівність або нерівності. Труднощі рішення задач лінійного програмування залежать від: виду залежності, що пов'язує цільову функцію з елементами рішення; розмірності задачі, тобто від кількості елементів рішення х₁, х₂,…, x_n; вигляду і кількості обмежень на елементи рішень.

По типу вирішуваних задачі методи лінійного програмування розділяються на універсальні і спеціальні. За допомогою універсальних методів можуть розв'язуватися будь-які задачі лінійного програмування. Спеціальні методи враховують особливості моделі задачі, її цільової функції і системи обмежень. [1]

Більшість економічних та управлінських задач добре описується лінійними моделями. Ці моделі використовуються для оптимізації вибору складу засобів випробування і у технологічному процесі виготовлення, коли n видів продукції (А₁, А₂,…, А_n) у кількості N₁, N₂,…, N_n можуть бути випробувані m різними способами випробувань B₁, B₂,… B_n. Кожний і -й засіб випробування характеризується:

· часом, який необхідний і -му засобу для випробування одиниці продукції (ф_ij);

· вартістю використання засобу в одиницю часу (С_i);

·   фондом часу роботи і -го засобу випробування Т _і.

В ході розв’язку задачі необхідно знайти невід’ємні значення х₁, х₂,…, x_n, які б задовольняли систему лінійних рівнянь

 (1.1)

 

де, А _ij - коефіцієнти (1< j <n), (1< i <m);

m - кількість обмежень;

В _j - j -й засіб випробування.

В матричній формі це виглядає як:

 

АЧх=В (1.2)

 

де

 

 

Така форма обмежень є обмеженням у формі рівностей. [1]

Основна задача лінійного програмування полягає в мінімізації цільової функції.

 

 (1.3)

 

Завданням ЛП в нашому випадку є мінімізація вартості випробувань.

 

 

де С_і - вартість роботи і -го засобу випробування в одиницю часу, 1≤ і ≤m.- кількість видів засобів випробувань при обмеженнях:

 

 (1.4)

 (1.5)

 (1.6)

 (1.8)

 

де X_ij - кількість продукції j -го типу, випробуване і -м засобом випробування;

Т_і - фонд часу і -го засобу випробування, n - кількість видів продукції;

N_j - загальна кількість продукції.

Обмеження (1.4) випливає з необхідності опрацювання всієї продукції, (1.5) - з не перевищення часу випробування усіх видів продукції н а і -х засобах, (1.6) - з умови невід’ємності В _і і х _і.

Геометричним образом допустимої множини розв’язків є многогранник у багатовимірному просторі, одна з вершин якого є розв’язком. [2]

В процесі знаходження оптимального розв’язку може виявитись, що розв’язок один; його не існує, якщо допустима множина розв’язків необмежена, при необмеженості знизу цільової функції (рисунок 1, а) або допустима множина розв’язків порожня (рисунок 1, б); є нескінченна множина розв’язків, якщо мінімум цільової функції досягається на множині точок, тобто ребро багатокутника паралельно лініям рівня як наведено на рисунку 1, в. [3]

 

Рисунок 1.1 - Геометрична інтерпретація задачі ЛП: а), б) - розв’язків не існую в) функція має нескінченне число розв’язків

 

Для розв’язання задачі лінійного програмування можна користуватися ручним методом, графічним або симплекс-методом. Ручний метод є досить простий і примітивний. Основний його недолік це велика трудомісткість при розв’язанні задачі. Чим більше змінних тим важче розв’язати задачу лінійного програмування ручним методом.

Графічний метод розв’язання досить простий. Але він також не ефективний. Ним можна скористатися лише при наявності двох змінних. У випадку трьох змінних графічний розв’язок стає менш наочним, а при більшому числі змінних - взагалі неможливим.

З перелічених трьох методів симплекс метод є найбільш ефективним. Він дозволяє вирішити будь-яку задачу при виконанні умови невиродженості. Оптимальний розв’язок представляється однією з вершин многогранника. Саме цей результат лежить в основі симплекс-метода. Для пошуку оптимума необхідно в визначеному порядку переглянути невелику кількість вершин, використовуючи простий і ефективний алгоритм послідовного покращення значення цільової функції, який показано на рисунку 1.2.

Алгоритм розв’язування задачі ЛП симплекс - методом має такі етапи:

1. Обчислюють елементи рядка оцінок варіантів d_j .

.   Знаходять номер к вектора , що має максимальну по абсолютній величині додатну оцінку варіанта . Якщо всі оцінки варіанта від’ємні, то оптимальний план (переходять до 5). У протилежному випадку обчислюють вектор - стовпчик:

 

 

.   Знаходять стрічку з номером ф, де . Якщо такого рядка немає, то задачу розв’язати неможливо;

.   Матрицю  і вектор  перетворюють в та  відповідно, щоб вивести з базису вектор і включити в нього вектор (поліпшення плану) по формулах:

· елементи стовпчика з номером А

;

 

·   елементи рядка з номером

 

;

 

·   інші елементи і

 

 

· перейти до наступної ітерації (до п. 1);

5. Видають інформацію про оптимальний розв’язок - значення невідомих цільової функції.

 

Рисунок 1.2 - Алгоритм рішення задачі ЛП симплекс-методом

 

Порядок виконання роботи проводять по наступним етапам:

· записуємо цільову функцію;

·   складаємо обмеження;

· обмеження у формі нерівностей, вводячи додаткові змінні, перетворюємо у рівності, і вводимо в обмеження - рівності штучні перемінні;

·   записуємо матрицю обмежень і вектор цільової функції, враховуючи усі змінні у кожному рядку;

·   вирішуємо задачу лінійного програмування на ЕОМ;

·   у випадку нецілочисельного розв’язання, за допомогою методу гілок і меж отримуємо цілочисельний розв’язок. Зі збільшенням номера розгалужень число додаткових обмежень буде зростати;

·   серед отриманих цілочисельних розв’язків обираємо оптимальний, з мінімальним значенням цільової функції;

·   відповідно до індивідуального завдання знаходимо необхідну залежність і відображаємо у вигляді графічної або математичної моделі.

 

Аналітично-розрахункова частина

 

В курсовій роботі поставлена задача вибору оптимального складу засобів випробування в технологічному процесі виготовлення напівпровідникових приладів.

. Так як цикл вимірів засобів випробувань заданий для вимірювання пластин, на яких розміщено 600 кристалів і брак складає 50% від загального об’єму випуску, то кількість пластин для розрахунку складає:

 

[пластин]

 

Границя необхідності обробки всієї продукції:

 

 

. З умови необхідності не перевищення часу випробування всіх видів продукції на і-му засобі випробувань допустимої тривалості роботи цих засобів випробувань випливає друга гранична умова:

 (1 ≤ i ≤ m);

 

де ф_ij - час необхідний і-му режиму випробування продукції;

х_ij - кількість продукції;

Т_і - фонд часу роботи і-го режиму випробувань Т_і = 344 год.

е_і - використовуєма кількість засобів випробувань і-го виду.

 

Т=Т_і Ч60 = 344Ч60 = 20640 (хв.).

 

Підставляючи у формулу значення відповідних параметрів, отримуємо чотири рівняння:

x₁ - 20640 e₁    33 х₃ ≤ 20640 e₃

х₂ ≤ 20640 e₂  7,5 х₄ ≤ 20640 e₄

 

Введемо заміну е_i= x_i+4. Потім перенесемо невідомі в ліву частину. В результаті отримаємо чотири граничних умови:

 

х₁ -20640 х₅ ≤ 0       33 х₃ - 20640 х₇ ≤ 0

4 х₂ - 20640 х₆ ≤ 0             7,5 х₄ - 20640 х₈ ≤ 0

 

де х₅, х₆, х₇, х₈ - кількість приладів першого, другого, третього і четвертого типу відповідно.

 

Сформуємо умову для рішення задачі лінійного програмування симплекс-методом на ЕОМ:

 

1	1	1	1	0	0	0	0	0	1500
180	0	0	0	-20640	0	0	0	-1	0
0	34	0	0	0	-20640	0	0	-1	0
0	0	33	0	0	0	-20640	0	-1	0
0	0	0	7,5	0	0	0	-20640	-1	0
0	0	0	0	3	3	3	70	-1	0

 

В дев'ятому стовпчику число 0 означає знак «=», -1 означає «≤0», 1 означає «≥ 0».

Отримана матриця складається з п'яти рядків границь, отриманих раніше, і ряду з коефіцієнтами цільової функції.