Процессов и структура подсистем САПР (2 ч) 5 страница

9.1 Классы математических моделей

Классификационные признаки математических моделей обычно связываются с используемым математическим аппаратом и математической символикой, с формой представления моделей, с классами систем, описываемыми моделями, с характером решаемых задач.

Математические модели могут быть классифицированы по следующим признакам.

1 По используемому математическому аппарату и форме представления:

дифференциальные и алгебраические уравнения, неравенства. Для линейных систем, описываемых однородными уравнениями, алгебраическими или дифференциальными с постоянными коэффициентами и содержащими несколько переменных, математическая модель может быть представлена в матричной форме. Модели могут быть также представлены в виде логических условий (схемы алгоритмов, программы расчётов на ЭВМ), графических образов (графики, диаграммы, эквивалентные и структурные схемы, графы).

2 По виду записи, отражающей способ действия над моделью:

инвариантная, т. е. запись в виде выражений с помощью традиционного математического языка безотносительно к методу решения уравнении модели;

аналитическая - запись модели в виде результата аналитического решения исходных уравнений модели, выраженного соответствующей формулой;

алгоритмическая - запись соотношений модели и выбранного численного метода в форме алгоритма.

3 В зависимости от свойств системы, которые отражают модели:

функциональные модели, описывающие процессы функционирования системы;

структурные модели, описывающие структурные свойства системы, например, её геометрию, размеры, взаимное расположение частей и элементов системы в пространстве. Такие модели связаны с конструкторскими аспектами проектирования систем.

4 По своему назначению:

имитационные модели, предназначенные для имитации физических и информационных процессов, происходящих в системе. На базе таких моделей оказывается возможным проводить так называемый вычислительный эксперимент, в основе которого лежит некоторый вариант математической модели, с помощью которой, варьируя различными параметрами задачи (значениями коэффициентов уравнений, начальными или граничными условиями и др.) можно провести детальное исследование изучаемого процесса в рамках модели, не прибегая к натурному эксперименту или к использованию физических моделей;

оптимизационные модели, предназначенные для выявления такого состояния системы или для нахождения таких её параметров, которые по принятому критерию будут наилучшим образом удовлетворять поставленным требованиям, Иными словами, оптимизационные модели имеют целью ответить на вопрос - "как должно быть?";

дескриптивные модели, предназначенные для объяснения наблюдаемых явлений или для прогноза поведения системы. Такие модели отвечают на вопросы - "как это происходит?", "как это будет развиваться?".

5 В зависимости от класса систем, описываемых моделями, различают детерминированные и статистические модели. В моделях первого типа между функцией и аргументом существует функциональная зависимость, а в моделях второго типа - статистическая зависимость.

6 В зависимости от уровня абстрагирования (или огрубления) исследуемых объектов различают микро-, макро- и мегамодели.

Наименьшую степень абстракции имеют микромодели, которые наиболее полно описывают процессы, происходящие внутри отдельных частей системы (подсистем, блоков). Такие модели позволяют объяснить состояние системы, например, напряжённое состояние или причину де формации конструкции, тепловое состояние её элементов и т. д.

Большую степень абстракции имеют макромодели, которые уже не учитывают изменение состояния внутри подсистем и их элементов, а отражают лишь внешние их свойства, не объясняя чем и как они вызваны.

Наибольшая степень абстракции допускается при построении мега-моделей. Если в макромоделях описываются процессы, происходящие между подсистемами (но не внутри их), то в мегамоделях описываются лишь процессы между системой и внешней средой или между отдельными системами.

Математические модели, отображающие поведение объекта и описывающие лишь воздействия на его входах и реакции объекта на входные сигналы, часто называется "черным ящиком".

7 В зависимости от класса математических задач в прикладных разделах математики.

Здесь характерным примером являются математические модели "исследования операций" и, в частности, модели математического программирования, модели случайных процессов (монте-карловские модели), модели массового обслуживания, модели теории игр.

9.2 Формализованные (эквивалентные) схемы объектов проектирования

При математическом описании динамических систем, отличающихся структурной и функциональной сложностью, обычно используется две формы их математического описания: схемная в виде эквивалентных схем объекта проектирования и формирование математической модели объекта с помощью дифференциальных уравнений движения. Эти формы математического описания объектов в задачах динамики часто применяются совместно: вначале строится эквивалентная схема, с помощью которой исследователю легче представить структуру исследуемого объекта, связи между его элементами, а затем по результатам анализа эквивалентной схемы объекта описать процесс его функционирования с помощью дифференциальных уравнений движения.

Построению эквивалентной схемы объекта предшествует содержательное описание и общая постановка прикладной задачи с указанием известных количественных характеристик и параметров объекта, особенности его функционирования и взаимодействия с другими объектами или с внешней средой.

При построении эквивалентной схемы объекта должны быть соблюдены определенные условия, а именно: сохранение баланса кинетической и потенциальной энергий, которым обладала реальная исходная динамическая система, а также сохранение неизменного значения мгновенных мощностей, развиваемых внешними силами. Выполнение этих условий связано с необходимостью замены реальных значений основных динамических параметров системы (масс, моментов инерции, жесткостей упругих элементов и сил) их приведёнными значениями.

Приведённые значения масс и моментов инерции определяются из условия равенства кинетической энергии приведённой массы (приведённого момента инерции) кинетической энергии массы или момента инерции системы, которые они заменяют.

В составе математического описания, можно выделить следуйте группы уравнений:

- уравнения баланса масс и энергии, записанные с учетом гидродинамической структуры потоков, составленные раздельно по веществам и составным частям объекта, либо по всему объекту в целом;

- уравнения "элементарных" процессов для отдельных элементов объекта - описания процессов тепло- и массообмена, реакций и т. д.;

- теоретические, полуэмпиричаские или эмпирические соотношения между различными параметрами 'процесса, например, зависимости коэффициента массоотдачи от скоростей потоков фаз, зависимость теплоемкости раствора от концентрации компонентов и т. д.;

- ограничения, накладываемые на параметры объекта и процесса.

Общим для всех математических моделей является то, что число уравнений и различных соотношений, включаемых в математическое описание, должно быть равно числу определяемых параметров (иначе система будет иметь бесконечное число решений).

Значительное влияние на выбор метода решения системы уравнений математического описания и решение задач оптимизации оказывает конкретный вид уравнений математического описания. Для характеристики свойств различных объектов в химической технологии обычно используются конечные алгебраические (трансцендентные) уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных, а также (очень редко) интегральные управления.

К конечным алгебраическим уравнениям обычно сводится математическое описание стационарных режимов работы объектов с сосредоточенными параметрами. Кроме того, уравнения этого типа применяют также при математическом описании более сложных объектов для выражения стационарных связей между разными параметрами.

Обыкновенные дифференциальные уравнения обычно используются для математического описания нестационарных (динамических, изменяющихся со временем) объектов с сосредоточенными параметрами. А также стационарных режимов объектов с распределенными параметрами, в которых значения параметров зависят только от одной пространственной координаты.

Дифференциальные уравнения в частных производных используются для математического описания динамики объектов с распределенными параметрами или стационарных режимов объектов, в которых параметры зависят от двух и более пространственных координат.

Любой технологический процесс, как правило, сопровождается перемещением жидкости, газа или твердых частиц. В связи с этим особое значение в задачах математического моделирования приобретает описание движения потоков как основы для составления математической модели объекта.

9.3 Способы реализации математических моделей на ЭВМ

Математические модели современных технических систем реализуются, как правило, с помощью ЭВМ. Но в зависимости от характера, сложности и структуры математических моделей способы их реализации на ЭВМ и сама роль вычислительной техники, в этом процессе могут быть различными.

С этой точки зрения можно выделить математические модели, решаемые аналитическими, численными и алгоритмическими методами. Последние в специальной литературе нередко определяются как методы моделирования процессов на ЭВМ. Однако такое определение весьма условно, т.к. под моделированием обычно понимается любой способ исследования систем и процессов на моделях независимо от методов их решения и формы представления промежуточных или конечных результатов, полученных при реализации модели.

Для исследователя наиболее привлекательны аналитические методы исследования, позволяющие получить результат в виде явных формул для искомых величин, либо в виде уравнений, для которых решения известны. Подобная форма представления результатов наиболее удобна для анализа процессов функционирования исследуемых или проектируемых объектов и для поиска их оптимальных вариантов.

Но в случаях, когда не удаётся преобразовать математическую модель в подходящую систему уравнений, а её упрощение приводит к недопустимому огрублению результатов, от аналитического исследования приходится отказаться и перейти к другим методам исследования, например, к исследованию численными методами.

Как и при использовании аналитических методов, численные методы решения обязательно связаны с необходимостью преобразования исходной модели в специальную систему уравнений относительно искомой величины. Разница заключается лишь в том, что при использовании аналитических методов исходная модель преобразуется в уравнения, допускающие аналитическое решение, а во втором случае - допускающие эффективное использование одного из численных методов, причём в обоих случаях решения могут быть выполнены либо вручную, либо на ЭВМ. При реализации этих методов с применением вычислительной техники, её роль сводится к автоматизации вычислений.

Существенное отличие третьего - алгоритмического - метода исследования систем и процессов от первых двух состоит в том, что в этом случае не обязательно преобразовывать исходную математическую модель в специальную систему уравнений относительно искомых величин, необходимо лишь с помощью соответствующего моделирующего алгоритма программы, реализующей этот алгоритм, задать ЭВМ такую последовательность выполнения операций, при которой была бы сохранена логическая структура явлений, описываемых математической моделью, и последовательность их чередования во времени. Вэтом случае роль ЭВМ заключается не столько в выполнении чисто вычислительных операций, сколько в воспроизведении явлений, описываемых математической моделью. Если при использовании обычных численных методов исследования первоначальная математическая модель преобразовывается в систему уравнений относительно искомых величин, которые по своей логической структуре далеки от самой математической модели до ее преобразования, так и от процесса, описываемого этой моделью, и ЭВМ выполняет операции, непосредственно связанные с особенностями данного численного метода, а не с моделью процесса, то при алгоритмическом методе исследования реализация моделирующего алгоритма является в некотором смысле имитацией элементарных явлений, составляющих исследуемый процесс.

В отличие от аналитического и численного метода исследования, содержание операций, выполняемых ЭВМ при алгоритмическом моделировании, не находится в прямой зависимости от величин, выбранных в качестве искомых. Здесь, как и при физическом моделировании или при проведении натурных экспериментов для оценки искомых величин может быть использована любая информация, которую несёт в себе математическая модель, но которая доступна регистрации и последующей обработке. Поэтому при таком способе моделирования пользователь при желании может получить информацию не только по искомой величине, но и другим характеристикам исследуемой системы. Например, при исследовании какого-либо случайного процесса в результате моделирования могут быть зафиксированы (выданы "на печать") не только средние значения (математическое ожидание тех или иных параметров объекта), но и другие вероятностные характеристики: дисперсии, корреляционные моменты, законы распределения и т.д.

Таким образом, при использовании алгоритмического метода моделирующий алгоритм можно рассматривать как одну из форм записи математической модели.

Моделирующий алгоритм обычно составляется не в виде машинной программы которая учитывает особенности системы команд той или иной ЭВМ а в виде операторной схемы, содержащей последовательность операторов каждый из которых изображает выполнение определённых элементарных операций. Такое представление моделирующего алгоритма оставляет некоторую свободу выбора типа ЭВМ.

Лекция 10

Тема: Иерархия математических моделей в САПР.Имитационное моделирование в САПР (2 ч.)

План лекции: Иерархия математических моделей в САПР. Структура математических моделей объектов, проектируемых в САПР. Имитационное моделирование в САПР. Вычислительный эксперимент.

10.1 Иерархия математических моделей в САПР

Блочно-иерархический подход к проектированию включает в качестве своей основы иерархию математических моделей. Деление модели по иерархическим уровням (уровням абстрагирования) происходит по степени детализации описываемых свойств объекта и процессов, протекающих в объекте. При этом накаждом иерархическом уровне используют свои понятия "система" и "элемент". Так, например, при моделировании какой-либо машины её трансмиссия может рассматриваться как одна из её подсистем, а составляющие части трансмиссии (коробка передач, главная передача, карданные передачи) - как элементы данной системы. Но та же трансмиссия при рассмотрении её отдельно, не в системе машины, может быть принята за систему, а составляющие её части за подсистемы; тогда детали каждой из этих частей, например, шестерни и валы КП принимаются за элементы системы.

В соответствии с уровнями абстрагирования строятся микро-, макро-и мегамодели.

Наиболее полной является микромодель, составленная из моделей элементов системы с учётом межэлементных связей, т. е. модель, описывающая состояние каждого элемента и его выхода.

Представим, например, структуру некоторого объекта в виде множества элементов и связей между ними и в соответствие с блочно-иерархическим подходом в структуре объекта выделим подмножество элементов, составляющих блоки (подсистемы) объекта; на рисунке 6.1 эти блоки показаны штриховыми линиями. Пусть состояние каждого элемента характеризуется внутренними переменными V_i;, описывающими внутренние связи между элементами данного блока, а также переменными u_i, и z_i на входах и выходах блока.

Рисунок 10.1 – Блочная структура проектируемого объекта

Моделями элементов блока А являются уравнения, связывающие входные и выходные переменные:

(10.1)

В векторной форме полная модель блока А, состоящего из пяти элементов и соответственно из пяти моделей каждого элемента, запишется так:

(10.2)

где V, U и Z - векторы внутренних, входных и выходных фазовых переменных.

Полная модель составлена здесь из микромоделей элементов данного блока.

При переходе к более высокому иерархическому уровню, т. е. от микромоделей к макромодели, из модели (10.2) блока следует исключить вектор внутренних переменных V, т. к. макромодель будет описывать только взаимодействие между блоками объекта, а не внутренние связи между элементами каждого блока. Полученная таким образом макромодель представляет собой систему уравнений

(10.3)

размерность которой существенно меньше, чем модели (10.2).

10.2 Структура математических моделей объектов, проектируемых в САПР

При проектировании сложных технических объектов в САПР используются два основных вида моделей, отличающихся своей структурой и представляющих собой преобразованную исходную математическую модель объекта: многоуровневые (тандемные) модели и сетевые модели.

Многоуровневые модели. Модели этого вида отражают такую схему процесса проектирования объекта, при которой от одного уровня к другому происходит детализация объекта. На первом уровне учитываются лишь основные факторы, влияние которых на изучаемые свойства объекта наиболее значимо. На втором и последующих уровнях с учетом результатов, получаемых на предыдущих уровнях проектирования, происходит более полное математическое описание и детализация объекта. При этом на каждом уровне проектирования (т. е. на каждом этапе решения проектной задачи) переменные математической модели ранжируются по степени важности их влияния на характеристики объекта.

Подобное представление совокупности моделей в канонической форме (в виде некоторой линейной суммы моделей) характерно для многоуровневых моделей, получивших название тандемных моделей. Такие модели отражают вертикальные информационные связи между соответствующими проектными модулями.

Важным свойством тандемных моделей является возможность переменные, присутствующие в моделях каждого уровня, определить через переменные моделей более низких уровней.

В общем случае на базе исходной модели может быть сформировано множество тандемных моделей, отличающихся одинаковыми признаками.

Тандемные модели обычно целиком не формируются заранее, они получаются путём агрегирования из различного числа элементарных моделей, составляющих соответствующие модули ППП. Если моделью первого уровня является элементарная модель, то модели второго и последующего уровней могут быть уже агрегированными, имея в своём составе несколько элементарных моделей.

Сетевая структура моделей подразумевает агрегирование исходной математической модели в подмодели и элементарные модели, описывающие составные части (подсистемы) и элементы объекта; по сравнению с исходной моделью такие модели дают более приближённое описание объекта.

Структура такой модели изображается в виде графа, в котором вершины х_i, соответствуют операторам элементарных моделей, а дуги, соединяющие вершины, определяют информационные связи между ними, причём входящие дуги каждой вершины представляют собой векторы входов а исходящие - векторы выходов (рисунок 10.2).

Такое представление структуры моделей часто применяется при решении задач планирования вычислений на пакете прикладных программ модульной структуры, когда требуется гибкое построение различных расчётных схем при формировании соответствующих программных модулей.

Рисунок 10.2 - Сетевая структура математической модели,

представленной в виде графа

Гибкость исходной модели зависит от числа агрегированных моделей - чем больше степень разбиения исходной модели на элементарные модели, тем больше гибкость исходной модели и тем больше возможность на одной и той же модели решать задачи в различных постановках. При этом переменные, которые в одних задачах являются входными, в других могут быть выходными и наоборот. Следует, однако, заметить, что такого рода гибкость допустима лишь при описании структуры модели в виде неориентированного графа, в котором нет деления дуг (векторов), связывающие элементарные модели (вершины графа) на входные и выходные.

Разделение исходной модели на элементарные модели производится при ее программной реализации, что исключает влияние способов реализации на процедуры формирования проектных модулей САПР.

Если структура исходной модели представляется в виде ориентированного графа, то в этом случае допускается формирование лишь такзо агрегированных моделей, у которых входы и выходы строго обусловлен, входами и выходами, содержащимися в исходной модели. Таким образом, способ формирования агрегированных моделей - на базе неориентированных или ориентированных графов - также влияет на гибкость исходной модели.

Если многоуровневые тандемные модели являются базой для формирования вертикальных связей между проектными модулями, то сетевая структура моделей характерна для отображения горизонтальных связей между проектными модулями.

Горизонтальные проектные связи между каждой парой проектных модулей имеют место, если результаты выполнения проектных процедур на каждом из них являются взаимозависимыми в том смысле, что имеется возможность выражения одних переменных модели через другие с помощью связей, заложенных в исходной модели проектируемого объекта. Или, другими словами, когда проектные решения двух взаимозависимых проектных модулей могут быть выражены друг через друга с помощью связей соответствующей математической модели.

10.3 Имитационное моделирование в САПР. Вычислительный эксперимент

Сложность и многообразие проектируемых объектов не всегда позволяет всю необходимую информацию о влиянии многочисленных факторов на его функционирование получить при проведении физического эксперимента. В других случаях проведение физических экспериментов может быть сопряжено с большими материальными затратами, а порой и с большой опасностью.

В подобных ситуациях исследователь обращается к имитационному моделированию объектов на ЭВМ.

Имитационная система состоит из двух частей, одна из которых с помощью программных средств обеспечивает формирование математической модели, воспроизводящей условия опыта, а другая - дает возможность целенаправленно управлять экспериментом в соответствии с заданным алгоритмом.

Имитационное моделирование, по сути, представляет собой вычислительный эксперимент, проводимый на базе некоторой математической модели по разработанному алгоритму. Такой алгоритм определяет последовательность арифметических и логических операций, которая реализуется в виде программы-имитатора на ЭВМ. При этом в ЭВМ имитируется функционирование исследуемого объекта с учётом выбранного уровня детализации при варьируемых в заданных границах значениях параметров объекта и изменяющихся начальных условиях. Имитационные программы имеют модульную структуру, в которой модули связаны между собой по типовой или заданной схеме.

Известны два подхода к организации имитационных моделей. Один из них заключается в том, что каждый элемент сложного объекта описывается элементарной моделью - программным модулем; сопряжение между модулями формируется по специальной схеме, отражающей структурную и функциональную специфику объекта.

Другой подход предусматривает конструирование универсальной имитационной модели, на базе которой может быть исследован любой объект данного класса. В этом случае структурные и функциональные характеристики объекта, отличающие его от других объектов того же класса, не должны входить в структуру и описание модели, а должны быть легко заменяемыми исходными данными.

Возможности вычислительного эксперимента велики по сравнению с натурными экспериментами. Вычислительный эксперимент быстрее, дешевле, проще и легко управляем. В него можно вмешиваться в ходе проведения эксперимента, точно сохранять значения переменных при повторном проведении каждого опыта и моделировать условия, которые невозможно создать в лаборатории.

Следует также отметить, что численные методы решения задач, используемые при проведении вычислительного эксперимента, позволяют легко перестраиваться с решения одних задач на другие, тогда как экспериментальное оборудование, приспособленное для изучения одних физических процессов, не может быть столь же легко перестроено для изучения других физических процессов.

Но есть у вычислительного эксперимента один существенный недостаток: применимость его результатов ограничена рамками принятой математической модели, которая в свою очередь строится на основе изучения физических закономерностей, выявляемых при проведении физического эксперимента.

Лекция 11

Тема: Разработка комплексной модели качества (2 ч.)

План лекции: Понятие «качество». Основные требования математической модели - адекватность, чувствительность, устойчивость

11.1 Понятие «качество»

Термин «качество» существует около 2500 лет – со времен Аристотеля и имеет несколько трактовок:

- качество – это существенная определенность объекта, в силу которой он является данным, а не другим объектом, т.е. это та самая определенность, которая отличает лошадь от стола. Эта трактовка была основной вплоть до 20 века.

- качество – это один из существенных признаков, свойств, особенностей, характеризующих данный объект, например, теплота, холодность и т.д.

- качество – это совокупность свойств объекта, проявляющихся в процессе его использования по назначению.

Согласно современной трактовке качество продукции – это совокупность свойств продукции, обусловливающих её пригодность удовлетворять определенные потребности в соответствии с её назначением.

В настоящее время используют еще два термина:

- главное качество – качество, отождествляемое с каким-то одним определяющим, доминирующим свойством, характеризующим потребительскую стоимость данного продукта труда;

- интегральное качество – качество, определяемое совокупностью всех функциональных, эстетических, и экономических свойств, т.е. выражаемое совокупностью потребительской стоимости и суммарных затрат на производство и потребление этого продукта труда.

11.2 Комплексная модель качества

Для разработки комплексной модели качества составляется математическая модель технического объекта (продукции), т.е. совокупность математических объектов (чисел, переменных, матриц, множеств и т.д.) и отношений между ними, которая адекватно отражает свойства технического объекта. Выполнение проектных операций и процедур в САПР основано на оперировании математическими моделями. С их помощью прогнозируются характеристики и оцениваются возможности предложенных вариантов схем и конструкций, проверяется их соответствие предъявляемым требованиям, проводится оптимизация параметров, разрабатывается техническая документация и т.д.

Основными требованиями, предъявляемыми к математическим моделям, являются требования адекватности, чувствительности и устойчивости.

Адекватность. Модель считается адекватной, если отражает заданные свойства объекта с приемлемой точностью. Точность определяется как степень совпадения значений выходных параметров модели и объекта. Если х_М_i значение выходного i-го параметра, x_oi – значение того же i-го параметра объекта, то относительная погрешность:

, (11.1)