Поток вектора. Дивергенция

1. Поток вектора.

Пусть векторное поле образовано вектором А(Р)=A_xi+A_yj+A_zk.

Возьмем в этом поле некоторую поверхность S и выберем на ней определенную сторону. Обозначим через n единичный вектор нормали к рассматриваемой стороне поверхности в произвольной её точке; проекциями вектора служат направляющие косинусы нормали n {cosα, cosβ, cosγ}. Рассмотрим интеграл по поверхности S от скалярного произведения вектора поля А(Р) на единичный вектор нормали n:

(*)

Если А(Р) - поле скоростей текущей жидкости, то интеграл (*) выражает поток жидкости через поверхность S. В произвольном векторном поле интеграл (*) будем называть потоком вектора через поверхность S и обозначать буквой К.

Определение. Потоком вектора через поверхность называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности:

Таким образом, вычисление потока вектора сводится к вычислению интеграла по поверхности. Из самого определения следует, что поток вектора К - величина скалярная. Если изменить направление нормали n на противоположное, то есть переменить сторону поверхности S, то поток К изменит знак. Так как скалярное произведение вектора А(Р) на единичный вектор нормали n равно А_n(Р) - проекции вектора А(Р) на направление n, то поток К можно представить в виде

Отсюда, в частности, следует, что если на некотором участке поверхности проекция вектора А(Р) на нормаль постоянна: А_n(Р) = А = =const, то поток через такой участок просто равен A_nQ, где Q - площадь участка поверхности.

Пример. Найдем поток радиуса-вектора r через боковую поверхность (S₁), верхнее основание (S₂) и нижнее основание (S₃) прямого цилиндра радиуса R и высоты H, если начало координат лежит в центре нижнего основания цилиндра, а ось цилиндра совпадает с осью O_z (рис. 1.7.).

Рис. 1.7. Поток радиуса-вектора прямого цилиндра

На всех поверхностях n имеет направление внешней нормали. На боковой поверхности S₁ внешняя нормаль n параллельна плоскости O_xy и проекция r_n равна R. Поэтому

На верхнем основании S₂ нормаль n направлена параллельно оси O_z и r_n=H. Следовательно,

Наконец, на нижнем основании S₃ проекция r_n=0 и K₃=0.

Особый интерес представляет случай, когда S - замкнутая поверхность, ограничивающая некоторую область Ω. Если берется внешняя нормаль, то мы будем говорить о потоке изнутри поверхности S. Он обозначается так:

Когда векторное поле А(Р) представляет поле скоростей жидкости, величина потока К дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области Ω, и количеством жидкости втекающей в эту область.

Если К=0, то в область Ω втекает столько же, сколько и вытекает. Так, например, будет для любой области, расположенной в потоке воды, текущей в реке.

Если же величина К отлична от нуля, например, положительна, то из области Ω жидкости вытекает больше, чем втекает. Наоборот, если величина К отрицательна, то это указывает на наличие стоков-мест, где жидкость удаляется из потока.

2. Дивергенция.

Рассмотрим некоторую точку Р векторного поля А(Р) и окружим её замкнутой поверхностью S, целиком содержащейся в поле. Вычислим поток вектора через поверхность S и возьмем отношение этого потока к объему V области Ω, ограниченной поверхностью S:

В поле скоростей жидкости это отношение определяет количество жидкости, возникающее в единицу времени в области Ω, отнесенное к единице объема, то есть как говорят, среднюю объемную мощность источника; если поток изнутри поверхности S меньше нуля, то соответственно говорят о мощности стока.

Найдем теперь предел отношения

при условии, что область Ω стягивается в точку Р, то есть что V стремится к нулю.

Если этот предел положителен, то точка Р называется источником, а если отрицателен, то стоком. Сама величина предела характеризует мощность источника или стока. В первом случае в любом бесконечно малом объеме, окружающем точку Р, жидкость возникает, а во втором случае исчезает. Предел этот называется дивергенцией или расходимостью векторного поля в точке Р.

Определение. Дивергенцией, или расходимостью, векторного поля А(Р) в точке Р называется предел отношения потока вектора через поверхность, окружающую точку Р, к объему, ограниченному этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку Р. Дивергенцию поля обозначают символом divA(P).

Таким образом,

где предел вычисляется при условии, что поверхность S стягивается в точке Р.

Докажем, что при условии непрерывности функций A_x, A_y, A_z и их производных дивергенция поля существует в любой его точке.

Теорема. Дивергенция векторного поля divA(P)=A_xi+A_yj+A_zk

выражается формулой

где значение частных производных берутся в точке Р.

Доказательство. По формуле Остроградского поток вектора К можно представить в виде

Тройной интеграл по теореме о среднем равен произведению объема V на значение подынтегральной функции в некоторой точке P₁ области Ω, то есть

Если область Ω стягивается в точку Р, то точка Р₁ стремится к точке Р, и мы получаем

что и требовалось доказать.

Пользуясь выражением для дивергенции, теорему Остроградского можно сформулировать в векторной форме:

Поток вектора изнутри замкнутой поверхности равен тройному интегралу по объему, ограниченному этой поверхностью, от дивергенции поля.

Векторная форма теоремы Остроградского выражает в поле текущей жидкости тот очевидный факт, что поток жидкости через поверхность равен суммарной мощности всех источников и стоков, то есть количеству жидкости, возникающей в рассматриваемой области за единицу времени. (Если мощность стоков больше, чем источников, то жидкость в объеме исчезает.) Если, в частности, дивергенция во всех точках равна нулю, то равен нулю и поток через любую замкнутую поверхность.

Свойства дивергенции.

. div[C₁A₁(P)+C₂A₂(P)]=C₁divA₁(P)+C₂A₂(P), где С₁ и С₂ - скалярные постоянные.

В самом деле, если обозначить проекции вектора А₁(Р) через A₁_x, A₁_y, A₁_z и вектора А₂(Р) через A₂_x, A₂_y, A₂_z, то