Деякі методи знаходження Парето-оптимальних рішень

 

Більшість методів знаходження Парето-оптимальних рішень базується на тих чи інших умовах Парето-оптимальності. У загальному випадку використовуються достатні й необхідні умови Парето-оптимальності. Зокрема, рішення є Парето-оптимальним, якщо воно є рішеннями задачі максимізації певної функції, зростаючої за відношенням . Фактично розв'язання задачі Парето-оптимізації зводиться до множини відповідних задач скалярної оптимізації за деяких обмежень. Якщо використані умови оптимальності є також і достатніми, то знайдена у такій спосіб множина рішень є множиною Парето-оптимальних рішень. У противному випадку, знайдена множина може включати і зайві рішення, що мають бути відкинуті.

Знаходження множини Парето-оптимальних систем може здійснюватися або безпосередньо перебиранням усіх строго допустимих варіантів системи та перевіркою умови (3), або з використанням спеціальних методів, наприклад, методу послідовних поступок, вагового методу, методу робочих характеристик. Вибір відповідного методу оптимізації залежить від змісту сформульованих вихідних даних, типу поставленої задачі проектування. Розглянемо особливості деяких методів.

Метод перебору. При розв'язанні оптимізаційної задачі методом перебору згідно з умовою (3) припускається, що множина  має скінченну потужність. Такі задачі виникають, наприклад, при виборі з уже відомих (“у натурі” або у вигляді технічних проектів) варіантів систем. Зокрема, множина допустимих систем може формуватися на основі відомого морфологічного підходу як різні допустимі комбінації певної кількості підсистем. Тут суттєво зазначити, що навіть для порівняно простих систем, які складаються лише з кількох підсистем, кількість допустимих комбінацій останніх може бути значною (десятки і сотні тисяч). Тому, хоча принципових труднощів при використанні методу перебору не існує, проте на практиці можливі складнощі обчислювального характеру.

Метод робочих характеристик. Метод полягає у тому, що шукається оптимум однієї із цільових, наприклад, першої функції на множині строго допустимих систем при умові, що на всі цільові функції накладаються обмеження типу рівності

, при ,                   (5)

 

де  - фіксовані, але довільні значення показників якості.

Очевидно, оптимальне значення показника  у загальному випадку залежатиме від фіксованих значень інших показників якості . Знайдені у такий спосіб залежності за допустимих комбінацій фіксованих значень  у критеріальному просторі являють собою робочу поверхню. Робочій поверхні відповідає сім'я одновимірних робочих характеристик  виду 

,

,                                                                (6)

...........................

.

 

Тут підкреслені змінні, що розглядаються як фіксовані параметри.

Робоча поверхня має такі характерні властивості:

1. Робоча поверхня включає усі Парето-оптимальні точки, але поряд з ними має і ряд безумовно гірших точок. Вони мають бути відкинуті з подальшого розгляду.

Необхідною і достатньою умовою збіжності робочої поверхні з Парето-оптимальною множиною, є її строга монотонність, тобто монотонно спадний характер відносно кожного з аргументів. В цьому випадку робоча поверхня визначає БПХ системи.

Основні складнощі при використанні методу робочих характеристик полягають у розв'язанні задачі скалярної оптимізації в умовах -го обмеження типу рівностей. Але у багатьох практичних випадках таку задачу вдається довести до одержання конкретної структури системи з довільними параметрами.

Ваговий метод. При його застосуванні Парето-оптимальні рішення знаходяться шляхом оптимізації зваженої суми цільових функцій виду

.                                  (7)

 

Тут  — скінченні додаткові зважуючі коефіцієнти. При цьому знаходиться оптимальне значення  і відповідні йому значення показників якості ,

.                                        (8)

 

У загальному випадку значення  залежать від обраних вагових коефіцієнтів :

,

,          

….…......................                                                                    (9)

.

 

Для розв'язання оптимізаційної задачі (7), а також для знаходження залежностей (9) необхідно виконати оптимізацію для всіх можливих комбінацій коефіцієнтів .

Розв'язавши систему із  рівнянь (9) можна дістати залежність

.                                                          (10)

 

У -вимірному просторі векторних оцінок ця залежність розглядається, як рівняння вагової поверхні. Неважко бачити, що використання вагового методу зводиться до скалярної оптимізації, зокрема, відомим методом множників Лагранжа.

Вагова поверхня має такі властивості:

1. Включає тільки Парето-оптимальні точки, тобто жодна з безумовно гірших точок не може належати цій поверхні.

У багатьох випадках вагова поверхня є повністю визначеною і неперервною в усьому діапазоні значень показників якості . У таких випадках вагова поверхня збігається з Парето оптимальною множиною.

Отже, при використанні розглянутих методів, а також їхніх модифікацій векторна оптимізаційна задача зводиться у математичному відношенні до розв'язання множини скалярних оптимізаційних задач з урахуванням різного роду обмежень.

У загальному випадку при розв'язанні оптимізаційних задач (5), (7) варіюється оператор системи , тобто як структура , так і параметри  системи. При цьому можуть бути використані методи варіаційного числення, функціонального аналізу, теорії статистичних рішень, теорії інформації. При фіксованій структурі системи  задача синтезу зводиться до задачі оптимізації вектора параметрів . Ця задача у ряді випадків може розв'язуватися методами лінійного, нелінійного чи динамічного програмування.

Якщо знайдена множина Парето  порівняно вузька, то за оптимальне рішення може бути прийнята люба Парето-оптимальна оцінка і відповідна їй система. У таких випадках можна вважати, що відношення строгої переваги  збігається з відношенням  на множині векторних оцінок, а тому . При цьому часто і не вдаються до пошуку всієї множини Парето-оптимальних систем, а зразу вибирають один із Парето-оптимальних варіантів. 

Проте часто множина  є занадто обширною. Це свідчить, що відношення  та  хоча і зв'язані аксіомою Парето, але не збігаються. Для звуження множини Парето-оптимальних оцінок слід використати умовний критерій переваги (УПК), який зводиться до задання деякої скалярної цільової функції. УКП може бути заданий після одержання додаткової інформації та введенні різного роду умов.

При цьому постає запитання: чи має сенс виконувати синтез на основі безумовного критерію переваги - критерію Парето, якщо на заключному етапі все ж доводиться вводити умовний критерій переваги. В обґрунтування доцільності пошуку Парето-оптимальних варіантів систем з використанням БКП на початкових етапах оптимального проектування зазначимо таке:

1. БКП дає змогу знайти всі Парето-оптимальні системи, тобто відкинути безумовно гірші варіанти системи.

БКП дає змогу знайти потенціальні (найкращі можливі) значення кожного із показників якості і зв'язок між ними.

3. Методи відшукання Парето-оптимальних систем зводяться у математичному відношенні до оптимізації скалярних цільових функцій, тобто зводять розв'язання задачі векторного синтезу до деякої множини задач скалярного синтезу.

4. У виродженому випадку БКП дає змогу знайти єдину найкращу систему.

5. У невиродженому випадку знаходження Парето-оптимальних систем часто приводить до однієї структури системи, але з різними параметрами.

6. Навіть тоді, коли на заключному етапі синтезу для вибору єдиної системи доводиться вводити УКП, то краще вводити різного роду умовності на більш пізньому етапі синтезу.