Определение узлов интерполяции

1 2

Численные методы

Пример выполнения контрольной работы по дисциплине КТВвММ

студентом группы ДСА-24

2014

Содержание

1. Задание 0____________________________________________________3

2. Задание 1____________________________________________________6

3. Задание 2___________________________________________________10

4. Задание 3___________________________________________________16

5. Задание 4___________________________________________________21

6. Задание 5___________________________________________________27

7. Задание 7___________________________________________________29

Список использованной литературы____________________________35

ЗАДАНИЕ 0

Условие

Дать письменные развёрнутые обоснованные ответы на контрольные вопросы (по каждому методу из соответствующих разделов курса, а не только по тем, которые применялись в работе). Номера вопросов выбираются, начиная с (N₄+1)-ого вопроса и далее нужно ответить на каждый четвёртый вопрос в общем списке вопросов.

Ответы на контрольные вопросы

Зачётная книжка № Д-12091

N₄ = 91/4 = 22 остаток 3

Номера вопросов N₄+1 = 3+1 = 4

Вопрос № 4: Может ли метод Ньютона применяться для экстраполяции?

Ответ: Может, в методе не заложено ограничений для применения для экстраполяции.

Вопрос № 8: Можно ли располагать неравномерно узлы интерполяции при использовании метода Ньютона?

Ответ: Нет, неравномерно располагать узлы интерполяции при использовании формул с конечными разностями нельзя, так как невозможно в этом случае рассчитать конечные разности; существует развитие методов Ньютона, позволяющее использовать неравномерно расположенные узлы, в этом случае используются разделенные, а не конечные разности.

Вопрос № 12: Может ли степень аппроксимирующего полинома быть выше числа узлов аппроксимации?

Ответ: Нет, не может, так как такой полином в общем виде будет содержать коэффициентов больше, чем условий для их определения (прохождение через все заданные точки). Однако если задать «усеченный» полином с меньшим числом элементов, то можно.

Вопрос № 16: Как можно обеспечить немного отличающуюся относительную погрешность аппроксимации на разных участках, если функция имеет очень большой размах?

Ответ: Для обеспечения не сильно отличающихся относительных отклонений в различных точках при большом размахе функции можно критерий близости сформировать из относительных, а не из абсолютных отклонений.

Вопрос № 20: Можно ли обеспечить требование, чтобы аппроксимирующая функция проходила через отдельные выбранные точки?

Ответ: Практически можно: для этого достаточно задать в этих точках очень высокие весовые коэффициенты, что приведет к точному прохождению аппроксимирующей функции через эти точки (число таких точек не должно быть большим по сравнению с большим числом точек).

Вопрос № 24: Как в методе прямоугольников уменьшить погрешность нахождения интеграла?

Ответ: При использовании метода прямоугольников для повышения точности интегрирования можно увеличить число участков разбиения исходного интервала, на каждом маленьком интервале интеграл будет вычисляться точнее, и, если число интервалов не слишком велико, общее значение интеграла будет получено с меньшей общей погрешностью.

Вопрос № 28: Дана подынтегральная функция f(x) = 5 x ³. Какой из методов даст наиболее точный результат?

Ответ: Предложенная функция кубическая, следовательно, метод Симпсона даст абсолютно точный результат. Он и будет наиболее эффективен, так как он самый простой из всех методов, способных вычислить этот интеграл точно.

Вопрос № 32: Всегда ли позволяет метод половинного деления вычислить отделённый корень уравнения с заданной погрешностью?

Ответ: Если нелинейная функция в левой части уравнения непрерывна, то метод половинного деления всегда позволит получить корень с заданной погрешностью, так как процесс решения в этом случае не зависит от свойств функции.

Вопрос № 36: Можно ли найти корень методом половинного деления, если он находится на границе интервала?

Ответ: Можно найти корень, находящийся на границе интервала.

Вопрос № 40: Как выбираются концы отрезка интервала в методе хорд?

Ответ: В методе хорд для монотонной функции f(x) один конец является закрепленным, а второй определяется точкой пересечения хорды с осью х. Закрепленный конец выбирается исходя из анализа знаков функции и ее второй производной на концах интервала.

Вопрос № 44: Исходя из чего выбирается в методе Ньютона первое приближение х₀?

Ответ: Начальное приближение х₀ в методе Ньютона выбирается таким образом, чтобы касательная к функции в точке х₀пересекала ось х внутри начального интервала, где отделен корень. Это оценивается по знакам функции и второй производной или практически методом проб и ошибок.

Вопрос № 48: В каких случаях применение метода Ньютона не рекомендуется?

Ответ: Если функция f(x) немонотонна, то метод Ньютона в классическом варианте может не дать гарантированный результат (можно в отдельных случаях получить корень, если на каждом шаге заново определять закрепленный конец).

Вопрос № 52: Присутствие каких особенностей f(x) допустимо для метода парабол, чтобы гарантировано можно было решить уравнение f(x) = 0?

Ответ: Уравнение должно быть непрерывным, монотонным и третьего порядка.

Вопрос № 56: К какой группе относится модифицированный метод Эйлера?

Ответ: Модифицированный метод Эйлера относится к группе одношаговых методов, так как для нахождения значения функции в следующей точке требуется знание только одной текущей точки.

Вопрос № 60: Когда используется метод Эйлера?

Ответ: Метод Эйлера в основном используется как учебный, в практических расчетах он дает значительную погрешность.

Вопрос № 64: Достоинства многошаговых методов.

Ответ: К достоинствам многошаговых методов относят меньший требующийся объем вычислений при реализации метода, так как при одинаковом порядке метода (например, четвертом в методах Рунге – Кутта и Милна) требуется не четыре, а только два раза вычислять правую часть дифференциального уравнения (хотя требуется дополнительная память для хранения предыдущих точек).

ЗАДАНИЕ 1

1.1 Условие

Используя заданную функцию f(x), которая выбирается из таблицы № 1 по числу N₁₀, рассчитать 5 точек в интервале [а, b/4], которые использовать как узлы интерполяции. Выбрать точку х внутри этого интервала, в которой восстановить значение функции с помощью заданного метода интерполяции. Метод интерполяции выбрать по числу N₄+1 из следующего общего списка методов интерполяции:

1. Метод Лагранжа;

2. Метод Ньютона;

3. Метод Чебышева;

4. Метод сплайнов (из-за сокращения количества лекций и сложности данного метода студентам разрешается заменить этот метод любым другим).

Найти погрешность интерполяции путем сравнения значения х, полученного по интерполяционному полиному, и рассчитанного по f(x). Сделать выводы о том, устраивает полученный результат интерполяции по погрешности или нет. Если результат не устраивает, то следует наметить, что необходимо сделать, чтобы снизить погрешность.

1. 2. Решение

Зачётная книжка № Д-12091

N₁₀ = 91/10 остаток 1; N₄ = 91/4 = 22 остаток 3; N₄+1 = 3+1 = 4

1.2.1 Исходные данные

Таблица 1 – Исходные данные