Определение площади полигона

Для определения площади строительных участков применяют следующие способы: графический, аналитический, механический.

В выполняемой работе использовать аналитический способ.

Аналитический способ

Площадь полигона можно вычислить по координатам его вершин. Исходными данными являются координаты точек (вершин) теодолитного хода (полигона).

Рис. 3.4.1 - Схема проекций точек теодолитного хода на координатные оси

Рис. 3.4.2 - Схема определения площади полигона аналитическим способом

Исходные данные:

- замкнутый полигон 1-2-3-4-1, (1-2-3-4-5-6-1);

- координаты точек Х₁Y₁, Х₂Y₂, Х₃Y₃, Х₄Y₄

Определить: площадь F полигона.

,

(3.4.1)

где  – площадь прямоугольника АВСD, образованного максимальными и минимальными абсциссами и ординатами вершин полигона;  – площади треугольников, образованных приращениями координат соседних точек.

Подставим значение площадей в исходную формулу, раскроем скобки и после приведения подобных членов получим:

.

(3.4.2)

Вынесем за скобки одноименные значения:

.

(3.4.3)

То есть удвоенная площадь полигона равна сумме произведений (для каждой точки полигона) абсциссы х на разность между ординатами у последующей и предыдущей точек.

Данный полигон состоит из четырех точек, поэтому в формуле получилось четыре таких слагаемых. Для полигона из n точек формула примет вид:

.

(3.4.4)

Формулу 7.5 следует читать так: двойная площадь полигона (многоугольника) равна сумме произведений абсциссы каждой точки на разность ординат последующей и предыдущей точек.

Формула для вычисления площади полигона: в формуле (7.4) за скобки можно вынести у:

,

(3.4.5)

После преобразования формула будет иметь вид:

.

(3.4.6)

Формулу 7.7 следует читать так: двойная площадь полигона (многоугольника) равна сумме произведений ординаты каждой точки на разность абсцисс предыдущей и последующей точек теодолитного хода.

Вопросы для контроля:

1. Какой порядок камеральных работ при построении плана теодолитной съемки?

2. Перечислите способы съемки ситуации.

3. По какой формуле вычисляют площадь полигона, контроль?

4. Как контролируют  правильность нанесения точек теодолитного хода?

 5. Какой размер пересечения координатных линий, каким цветом рисуют?