Накопительная олимпиада по математике. 7 класс. 2 тур. 1 февраля 2020 года

 

1. Можно ли натуральные числа от 1 до 20 расставить в прямоугольной таблице 4 х 5 (четыре строки и пять столбцов) таким образом, чтобы сумма чисел в каждой строке была одинакова? Каждое число из списка можно использовать ровно один раз. В каждой клетке должно быть ровно одно число.

 

2. Докажите, что n²+3n+5 не делится на 121 ни при одном натуральном n.

 

3. Сколько существует трёхзначных чисел, сумма цифр которых чётна?

 

4. Можно ли прямоугольник 7 х 11 см разрезать на несколько частей, каждая из которых – прямоугольник 2 х 4 см или прямоугольник 3 х 5 см?

 

5. На отрезке длиной 10 закрашено несколько отрезков, причём расстояние между любыми двумя закрашенными точками не равно 1. Докажите, что сумма длин закрашенных отрезков не больше 5.

 

Накопительная олимпиада по математике. 7 класс. 2 тур. 1 февраля 2020 года. Решения

 

1. Ответ: нельзя.

Решение. Сумма всех чисел в таблице равна 210 и не делится на 4.

 

2. Решение. n²+3n+5=(n-4)²+11(n-1) Если n-4 не делится на 11, то n²+3n+5 не делится на 11. Если n-4 делится на 11, то его квадрат делится на 121, а n-1 на 11 не делится.

 

3. Ответ: 450.

Решение. Всего трёхзначных чисел 900 (на первом месте любая из 9 цифр, на втором и третьем любая из 10). Подходит ровно половина: числа каждого десятка можно разбить на 5 пар, в каждой из которых разная чётность последней цифры.

 

4. Ответ: можно.

Решение. См. рис.

 

5. Решение. Пусть сумма длин больше 5. Разрежем отрезок на части длины 1 и сложим их стопкой друг над другом. На прямой, параллельной отрезкам длины 1, отметим проекции концов закрашенных отрезков. Они разбивают отрезок прямой длины 1 на части. Над каждой частью надпишем число окрашенных кусочков над ней. Все числа не больше 5 (в противном случае есть 6 закрашенных частей отрезков из 10, среди которых два соседних, а две окрашенные точки идут через расстояние 1). Если бы все они были равны 5, была бы закрашена ровно половина исходного отрезка. Поэтому длина окрашенной части не больше 5.

 

Накопительная олимпиада по математике. 8 класс. 2 тур. 1 февраля 2020 года

 

1. Существуют ли четыре различных натуральных числа таких, что сумма любых трёх из них есть простое число? Простое число – это такое натуральное число, которое делится без остатка ровно на два натуральных числа.

 

2. Можно ли в таблице 10 х 10 расставить целые числа так, чтобы сумма чисел в каждом горизонтальном прямоугольнике 1 х 3 была равна 16, а сумма чисел в каждом вертикальном прямоугольнике 4 х 1 была равна 22?

 

3. Докажите, что а³+b³+4 не является кубом целого числа ни при каких натуральных а и b.

 

4. Заполните таблицу 8 х 8 числами 1, 2 и –4 так, чтобы в любом квадрате 4 х 4 клетки сумма чисел была равна нулю, а в любой фигуре, изображённой на рисунке, сумма чисел была не равна нулю. (Фигуру можно поворачивать и переворачивать.)

 

 

5. x/(y – z) + y/(z – x) + z/(x – y) = 0. Докажите, что x/(y – z)² + y/(z – x)² + z/(x – y)² = 0.

 

Накопительная олимпиада по математике. 8 класс. 2 тур. 1 февраля 2020 года. Решения

 

1. Ответ: существуют.

Решение. Пример: 1, 3, 7, 9. Суммы равны соответственно 11, 13, 17, 19.

 

2. Ответ: нельзя.

Решение. Рассмотрим прямоугольник 4 х 3, состоящий из 3 столбцов и 4 строк. С одной стороны, в каждой строке сумма чисел равна 16, значит, сумма чисел во всём прямоугольнике равна 64. С другой стороны, в каждом столбце сумма чисел равна 22, значит, сумма чисел во всём прямоугольнике равна 66. Противоречие.

 

3. Решение. Куб дает остатки 0, 1, 8 при делении на 9.

 

4. Решение. Например, см. рис.

1	1	1	1	1	1	1	1
2	2	2	2	2	2	2	2
1	1	1	1	1	1	1	1
-4	-4	-4	-4	-4	-4	-4	-4
1	1	1	1	1	1	1	1
2	2	2	2	2	2	2	2
1	1	1	1	1	1	1	1
-4	-4	-4	-4	-4	-4	-4	-4

 

5. Решение. Утверждение задачи следует из тождества

(x/(y – z) + y/(z – x) + z/(x – y)) · (1/(y – z) + 1/(z – x) + 1/(x – y)) = x/(y – z)² + y/(z – x)² + z/(x – y)².

Для доказательства перемножим суммы слева и заметим, что сумма трёх следующих дробей равна 0:

x/(y – z) · (1/(z – x) + 1/(x – y)) = (zx – xy)/((x – y)(y – z)(z – x)),

y/(z – x) · (1/(y – z) + 1/(x – y)) = (xy – yz)/((x – y)(y – z)(z – x)),

z/(x – y) · (1/(z – x) + 1/(y – z)) = (yz – zx)/((x – y)(y – z)(z – x)).