2020-04-11
91
Как уже отмечалось выше, равенство дисперсий возмущений(ошибок) регрессии 
(гомоскедастичность) является существенным условием линейной классической регрессионной модели множественной регрессии, записываемым в виде 
.
Часто встречается гетероскедастичная модель, т. е. условие 
не выполняется. Наиболее простой и часто употребляемый тест на гетероскедастичность — тест Уайта. При использовании этого теста предполагается, что дисперсии ошибок регрессии представляют собой одну и ту же функцию от наблюдаемых значений регрессоров, т. е.
.
Чаще всего функция f выбирается квадратичной, что соответствует тому, что средняя квадратическая ошибка регрессии зависит от наблюдаемых значений регрессоров приближенно линейно. Гомоскедастичной выборке соответствует случай 
. Идея теста Уайта заключается в оценке функции с помощью соответствующего уравнения регрессии для квадратов остатков:
(*)
где 
– случайный член.
Гипотеза об отсутствии гетероскедастичности (условие 
) принимается в случае незначимости регрессии (*) в целом. В большинстве современных компьютерных пакетов регрессию (*)не приходится осуществлять вручную – тест Уайта входит в пакет как стандартная подпрограмма. В этом случае функция f выбирается квадратичной, регрессоры в (*) – это регрессоры рассматриваемой модели, их квадраты и, возможно, попарные произведения.
|
|
|
Пусть рассматривается регрессионная модель
или
.
Будем считать, что эта модель гетероскедастична, т. е. дисперсии возмущений (ошибок) 
не равны между собой, и сами возмущения не коррелированы. Это означает, что ковариационная матрица вектора возмущений 
– диагональная:
.
Если дисперсии возмущений 
известны, то гетероскедастичность легко устраняется. В самом деле, будем рассматривать в качестве i -го наблюдения зависимой Y и объясняющих переменных 
нормированные по 
переменные, т. е.
.
Тогда модель примет вид:
,
где 
.
Очевидно, дисперсия 
равна 1, т. е. модель гомоскедастична. При этом ковариационная матрица становится единичной, а сама модель – классической.
Применяя к исходной линейной регрессионной модели теорему Айткена, получим, что наиболее эффективной оценкой вектора β является оценка:
.
Применение последней формулы для отыскания параметра β, т. е. обобщенный метод наименьших квадратов для модели с гетероскедастичностью, когда ковариационная матрица возмущений 
есть диагональная матрица, называется взвешенным методом наименьших квадратов.
Применяя обычный метод наименьших квадратов, неизвестные параметры регрессионной модели находим, минимизируя следующую остаточную сумму квадратов:
|
|
|
,
т. е. на основе обобщенного метода минимизируется
В частном случае гетероскедастичности приходим к взвешенному методу наименьших квадратов, при котором минимизируется сумма
.
Взвешенный метод наименьших квадратов (ВМНК) обобщает МНК и его можно использовать в значительно более общих ситуациях, когда МНК не дает результата. ВМНК является робастным методом, но основная проблема его применения состоит в выборе коэффициентов остаточной суммы квадратов. Эта проблема в методе ВМНК часто решается путем подбора этих коэффициентов на основе дополнительных соображений.
Литература
1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: учебник для студентов вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008. – 311 с. Гл. 7. 7.1 – 7.4, упражнения к главе 7.
2. Тимофеев В.С., Фаддеенков А.В., Щеколдин В.Ю. Эконометрика. – М.: Юрайт, 2015. – 328 с. bibleo-online.ru Гл.8, контрольные вопросы и задания к гл. 8.
Задание:
1. Выполнить рейтинговые контрольные работы №1 и №2.
