Лабораторная работа №10

Интерполирование и аппроксимация функций. Приближенное вычисление определенных интегралов.

 

Цель работы: приобрести практические навыки алгебраического интерполирования и аппроксимации фукнций.

Постройте график функции и определите количество узлов сетки на заданном отрезке.

t:= 2

s(x):= ifæ x £ 0.5×t, cosæ 2×x ö , 0ö

è

x:= -2,-1.99.. 2

è  t  ø ø

 

Варианты:

æ ö

2x 6

1. s(x) 1 -

è t ø

 

 

x £ 0.5×t

æ ö

2t 4

2. s(x) 1 - x

è t ø

£ 0.5×t

3. s(x)

æ 2x ö

è t ø

x £ 0.5×t

4. s(x) cos×æ 2x ö

x £ 0.5×t

è t ø

 

5. s(x) sin×æ 2x ö

 

x £ 0.5×t.

è t ø

 

 

0.75

 

s (x) 0

 

0.4

 

0.05

 

 

0.3

 

2                  1                 0                  1                  2

x

10.2 Осуществите интерполяцию функции: а) c использованием полиномов Лагранжа; a:= -10

b:= 10

m:= 20

Dx:=

b - a m

i:= 0.. m

ti:= a + Dx×

yi:= s(ti)

t - узлы интерполирования

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

T

t =

 

y - значение функции в узлах интерполирования.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

T

y =

^{m    m} é    (x - ti) ù

(

Q(x):= å

yk Õ

if i ¹ k,

t

- t) ^,1

k = 0

i = 0 ë

k i û

Полином Лагранжа. R(x):= s(x) - Q(x) x:= a,(a + 0.1).. b

 

1

 

s (x)

Q(x) 0

R(x)

 

1

 

5                   0                   5

x

б). C использованием формулы Ньютона:

m:= 20

Dx:=

b - a m

i:= 0.. m

ti:= a + Dx×

Yi:= s(ti)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

T

t =

 

t - узлы интерполирования

=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

T

Y

 

y - значение функции в узлах интерполирования.

i:= 2.. m

a0:=

a1 :=

Y0

Y1 - Y0

 

t1 - t0

é

Yi - ê a0 +

ê

 

i-1

å

 

j-1

aj× Õ

 

 

ù

(ti - tk) ú

ú

ai:=

ë  j = 1 k = 0          û

i-1

Õ

k = 0

=

0 1 2 3 4 5 6 0

T

a

(ti - tk)

 

m

N3(x):= a0 + å

i = 1

i-1

ai× Õ

k = 0

(x - tk)

- полином Ньютона.

Вычисление погрешности интерполяции функции s(t) полиномом Ньютона:

R(x):= s(x) - N3(x) a:= -10

b:= 10

x:= a,(a + 0.1).. b

 

 

s (x)

N3(x)

R(x)

 

 

x

Выполнить интерполяцию функции s(t) кубическим сплайном. Построить графики базисных функций, кубического сплайна и погрешности интерполяции.

vx:= t

Узлы интерполяции кубическим сплайном.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

T

vx =

 

vy:= Y

Значения функции s(t) в узлах интерполяции.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

T

vy =

 

vs:= pspline(vx, vy)

Кривая сплайна, приближающаяся в граничных точках к параболе..

P(x):= interp(vs, vx, vy, x) Интерполяционный многочлен. R(x):= s(x) - P(x)

Погрешность интерполяции функции s(t) кубическим сплайном.

x:= -20, -19.9.. 20

 

 

s (x)

P(x)

R(x)

 

 

x

10.4. Решение практических задач по вычислению определенных интегралов с помощью встроенных функций MathCADа, с использованием метода трапеций и метода статистического моделирования.