2020-04-12
764
3.1 Прямая задача кинематики промышленных роботов манипуляторов
Прямая задача кинематики для промышленных роботов манипуляторов заключается в вычислении положения и ориентации технологического инструмента по заданным значениям углов (смещений) в сочленениях с манипулятора. Рассмотрим ряд типовых конструкций промышленных роботов манипуляторов и подходы к решению их прямой задачи кинематики.
3.1.1 Плоский двухзвенный манипулятор и геометрическое решение прямой задачи кинематики
Конструкция плоского двухзвенного манипулятора позволяет реализовать две конфигурации, которые обозначим конфигурация «-» (схема на рисунке 3.1) и конфигурация «+» (схема на рисунке 3.2).
Рисунок 3.1- Плоский двухзвенный манипулятор в конфигурации «-»
При решении прямой задачи кинематики требуется по известным значениям углов в сочленениях q1, q2 и известным длинам звеньев а 1, а 2 найти координаты рабочей точки технологического инструмента х 0, у 0, а также угол его ориентации j относительно базовой системы координат. В соответствии с рисунком 3.1 геометрическое решение данной задачи для конфигурации «-» имеет вид
|
|
|
. (3.1)
Рисунок 3.2- Плоский двухзвенный манипулятор в конфигурации «+»
Аналогично, в соответствии с рисунком 3.2 геометрическое решение прямой задачи кинематики для конфигурации «+» имеет вид
. (3.2)
Определим индикатор конфигурации следующим образом
. (3.3)
Тогда геометрическое решение прямой задачи кинематики для плоского двухзвенного манипулятора с учетом (3.1)-(3.3) будет иметь вид
. (3.4)
3.1.2 Плоский двухзвенный манипулятор и аналитическое решение прямой задачи кинематики
Выполним аналитическое решение прямой задачи кинематики для плоского двухзвенного манипулятора с использованием представления Денавита-Хартенберга.
Рисунок 3.3- Параметры Денавита-Хартенберга плоского двухзвенного манипулятора
Задача решается в следующей последовательности:
1 Формируются системы координат сочленений.
1.1 Формируем базовую систему координат (x 0, y 0, z 0) связанную с неподвижно закрепленным основанием манипулятора направив ось z 0 вдоль оси первого сочленения. Направления осей x 0, y 0, выбираются произвольно при условии их перпендикулярности к оси z 0, как показано на рисунке 3.3.
1.2 Направляем ось z 1 вдоль оси z 0.
1.3 Определяем положение начала системы координат первого сочленения (точка Н 1). Току Н 1 размещаем на пересечении общего перпендикуляра к осям z 0 и z 1 с осью z 1.
|
|
|
1.4 Направляем ось x 1 вдоль общего перпендикуляра к осям z 0 и z 1.
1.5 Направляем ось y 1 так чтобы в совокупности с осями x 1 и z 1 получить правостороннюю декартову систему координат.
1.6 Формируем систему координат технологического инструмента (x 2, y 2, z 2). Для этого направляем ось z 2 вдоль оси z 1, направляем ось x 2 вдоль общего перпендикуляра к осям z 1 и z 2, направляем ось y 2 так чтобы в совокупности с осями x 2 и z 2 получить правостороннюю декартову систему координат.
2 Определяются параметры звеньев и сочленений
2.1 Определяем расстояния между смежными звеньями. Расстояние d 1 –это расстояние от точки Н 0 до точки пересечения оси z 0 с осью x 1, отсчитанное вдоль оси z 0. В соответствии с рисунком 3.3 расстояние d 1=0. Расстояние d 2 –это расстояние от точки Н 1 до точки пересечения оси z 1 с осью x 2, отсчитанное вдоль оси z 1. В соответствии с рисунком 3.3. расстояние d 2=0.
2.2 Определяются углы поворота звеньев. Угол q1 – это угол, на который нужно повернуть ось х 0 вокруг оси z 0, чтобы ось х 0 стала сонаправленной с осью х 1. При определении знака угла предполагалось, что поворот против часовой стрелки –положительное направление, по часовой стрелке –отрицательное, при условии что ось z 1 направлена к нам. Угол q2 – это угол, на который нужно повернуть ось х 1 вокруг оси z 1, чтобы ось х 1 стала сонаправленной с осью х 2. В соответствии с рисунком 3.3 угол q2 равен углу поворота второго звена со знаком «+» либо «-», в зависимости от конфигурации. При определении знака угла предполагалось, что поворот против часовой стрелки –положительное направление, по часовой стрелке –отрицательное, при условии что ось z 2 направлена к нам.
2.3 Определяются расстояния между осями смежных звеньев. Расстояние a 1 это расстояние между точкой Н 1 и точкой пересечения осей z 0 и х 1 отсчитанное вдоль оси х 1. В соответствии с рисунком 3.3 расстояние a 1 равно длине первого звена. Расстояние a 2 это расстояние между точкой Н 2 и точкой пересечения осей z 1 и х 2 отсчитанное вдоль оси х 2. В соответствии с рисунком 3.3 расстояние a 2 равно длине второго звена.
2.4 Определяются углы между осями сочленений. Угол a1 это угол на который нужно повернуть ось z 0 вокруг оси х 1 чтобы она стала сонаправлена с осью z 1. В соответствии с рисунком 3.3 угол a1=0. Угол a2 это угол на который нужно повернуть ось z 1 вокруг оси х 2 чтобы она стала сонаправлена с осью z 2.. В соответствии с рисунком 3.3 угол a2=0.
Параметры Денавита-Хартенберга для плоского двухзвенного манипулятора полученные в соответствии с пунктами 1-4 сведем в таблицу 3.1.
Таблица 2.1 - Параметры Денавита-Хартенберга для плоского двухзвенного манипулятора
| Звено | di | q i | ai | a i |
| 1 | 0 | +q1 | a 1 | 0 |
| 2 | 0 | ±q2 | a 2 | 0 |
3 Формируются матрицы однородных преобразований 
в соответствии с формулой:
. (3.5)
Матрицы однородных преобразований плоского двухзвенного манипулятора
, (3.6)
. (3.7)
4 Вычисляется матрица преобразования из n -ной в базовую систему координат 
по формуле:
, (3.8)
В частности для рассматриваемого плоского двухзвенного манипулятора (число степеней свободы n =2)
, (3.8)
= 
, (3.9)
где 
-угол ориентации технологического инструмента.
В общем виде матрица 
может быть записана следующим образом
|
|
|
, (3.10)
где n - вектор нормали к технологическому инструменту, s - вектор касательный к технологическому инструменту, a - вектор подхода технологического инструмента, p - вектор положения технологического инструмента, 0 R 2- матрица поворота (3´3) технологического инструмента относительно базовой системы координат.
Таким образом, три первых элемента первого столбца матрицы (3.9) представляют собой координаты единичного вектора нормали к технологическому инструменту (nx, ny, n z), три первых элемента второго столбца матрицы (3.9) представляют собой координаты единичного касательного вектора к технологическому инструменту (sx, sy, sz); три первых элемента третьего столбца матрицы (3.9) представляют собой координаты единичного вектора подхода технологического инструмента (ax, ay, az). Координаты положения технологического инструмента
. (3.11)
При этом угол ориентации технологического инструмента .
Отметим, что полученное аналитическое решение прямой задачи кинематики для плоского двухзвенного манипулятора полностью совпадает с полученным ранее геометрическим решением (3.4).
3.1.2 Плоский манипулятор с n -звеньями и решение прямой задачи кинематики
При решении прямой задачи кинематики для плоского манипулятора с n -звеньями (рисунок 3.4) требуется по известным значениям углов в сочленениях q1, q2,…,q n и известным длинам звеньев а 1, а 2,… а n найти координаты рабочей точки технологического инструмента х 1, у 1, а также угол его ориентации j n относительно базовой системы координат.
Выполним аналитическое решение прямой задачи кинематики для плоского манипулятора с n -звеньями с использованием представления Денавита-Хартенберга в соответствии с методикой приведенной ранее в разделах 2.5, 3.1.2.
1 Назначаем системы координат сочленений 1- n (рисунок 3.4).
2 Определяем параметры звеньев и сочленений (рисунок 3.4) и составляем таблицу параметров звеньев и сочленений (таблица 3.3).
|
|
|
Таблица 3.3 - Параметры Денавита-Хартенберга для плоского манипулятора с n -звеньями
| Звено | ai | α i | di | q i |
| 1 | a 1 | 0 | 0 | ±q1 |
| 2 | a 2 | 0 | a2 | ±q2 |
| . . . | . . . | . . . | . . . | . . . |
| n | an | 0 | 0 | ±q n |
3 Формируем n матриц однородных преобразований в соответствии с таблицей 3.3 и формулой (3.5)
,
.
.
.
.
.
4 Вычисляется матрица преобразования из n -ной в базовую систему координат по формуле (3.8):
,
Вычисления по пунктам 1-4 могут быть реализованы в виде следующего вычислительного алгоритма:
1 Прямой цикл - для всех i =1,2,…. n рассчитываются значения углов ориентации j i
j i =j i- 1+q i, (3.11)
где j0=0.
2 Определяются начальные значения координат xn, yn по формулам
. (3.12)
3 Обратный цикл - для всех i = n- 1, n- 2, n- 3….2,1 определяются координаты xi, yi по формулам
. (3.13)
Рисунок 3.4- Схема и параметры Денавита-Хартенберга плоского манипулятораc n -звеньями
3.1.3 Промышленный робот-манипулятор SCARA и решение прямой задачи кинематики
Манипулятор SCARA (Selective Compliance Articulated Robot Arm) - это робот с пятизвенным механизмом, в котором для перемещения технологического инструмента используются 5 звеньев и 3 вращающихся привода с несовпадающими осями (рисунок 3.5). Вращающиеся сочленения SCARA расположены в горизонтальной, плоскости с использованием вертикальной подвижности для поступательного движения технологического инструмента. Такая конструкция, сочетает свойства угловой и цилиндрической систем координат.
Рисунок 3.5- Промышленный робот-манипулятор SCARA
За счет высокой жесткости в вертикальном направлении роботы типа SCARA могут нести значительно более высокие полезные нагрузки, чем другие сборочные роботы, и в то же время весьма удобны для выполнения сборочных операций. Схема получила широкое распространение для сборочных роботов, и ряд фирм, в том числе и такая всемирно известная, как IBM (США), сборочные роботы этого типа; одна из наиболее совершенных японских моделей получила название «SKILAM».
Манипулятор SCARA имеет возможность работать и поворачивать детали под любым углом. Степени подвижности манипулятора показаны на рисунке 3.6, он имеет три вращательных и одну поступательную степень свободы. Большинство механизмов SCARA может быть монтировано на любой плоскости (на стене, потолке, полу) без изменения их эксплуатационных свойств. Это преимущество широко используется в производственных помещениях, имеющих ограниченный объем.
Рисунок 3.6- Степени подвижности робота-манипулятора SCARA
В настоящий момент SCARA роботы показывают очень высокие скорости перемещения. Для механизма робота-манипулятора SCARA, характерна неоднородность разрешающей способности перемещения в плоскости X-Y. Для механизмов SCARA принято говорить о градиенте разрешающей способности в заданной плоскости. Максимальная точность (наименьшая абсолютная погрешность и наибольшая разрешающая способность) наблюдается в начале координат (в центре механизма). По мере удаления от центра (с увеличением длины рычага, т.е. удлинением «руки» SCARA), разрешающая способность ухудшается.
За счет отсутствия растягивающихся элементов (приводных ремней) в конструкции, механизм SCARA характеризуется высокой повторяемостью результатов перемещения без изменения точности. Это означает, что роботы SCARA могут выполнять последовательные идентичные операции без малейших отклонений.
Допустимая нагрузка складывается из двух составляющих - веса технологического инструмента и веса груза (либо усилия, действующие в рабочей области механизма). В случае использования манипулятора SCARA, нагрузка прикладывается к рабочей области, находящейся на конце вытянутого рабочего плеча механизма (вытянутой «руки» робота). Это приводит к некоторым ограничениям по нагрузке и необходимости увеличивать прочность и жесткость элементов механизма.
Роботы-манипуляторы SCARA имеют превосходящие эксплуатационные показатели (скорость, нагрузка, габариты, вес) по сравнению роботами работающими в декартовой системе координат. Требуют более сложной электроники, математическое описание для контроллера перемещений более сложное, чем для роботов работающих в декартовой системе координат
Изначально роботы-манипуляторы SCARA разрабатывались учеными университета Яманаси (Япония) для перемещения, монтажа и сборки и особо широкое распространение получили в электронной промышленности и конвейерных системах.
Рисунок 3.7-Системы координат робота-манипулятора SCARA
Системы координат робота-манипулятора SCARA показаны на рисунке 3.7. При решении прямой задачи кинематики требуется по известным значениям параметров Денавита-Хартенберга координаты рабочей точки технологического инструмента pх, pу, p z относительно базовой системы координат, а также векторы его ориентации n, s, a относительно базовой системы координат.
Рассмотрим методику решения прямой задачи кинематики с формированим систем координат и определением параметров Денавита-Хартенберга на основе общего алгоритма рассмотренного в разделе 2.5.
3.1.3.1 Формирование систем координат робота-манипулятора SCARA
1 Формируем базовую систему координат (x 0, y 0, z 0) направив ось z 0 вдоль оси первого сочленения. Направления осей x 0, y 0, выбираются произвольно при условии их перпендикулярности к оси z 0, как показано на рисунке 3.8.
2 Определяем направления осей 1..4 сочленений zi направив ось zi вдоль оси i +1 сочленения. В частности z 1 направим вдоль оси О2; z 2 направим вдоль оси О3; z 3 направим вдоль оси О4.
3 Определяем положение начал систем координат Нi (i =1..4) расположив точку Нi на пересечении осей zi и zi -1, если они пересекаются, либо на пересечении общей нормали к zi и zi -1, с осью zi, в противном случае. В частности точка Н 1 расположена на пересечении общей нормали к осям z 0 и z 1 с осью z 1; точка Н 2 расположена на пересечении на пересечении общей нормали к осям z 1 и z 2 с осью z 2; точка Н 3 расположена как показано на рисунке 3.8, поскольку оси z 2 и z 3 лежат на одной прямой положение точки Н 3 может быть любым на этой прямой, выбрано положение в начале 5 звена;
4 Формируем оси хi (i =1..4) направив ось хi так чтобы она была перпендикулярна осям zi и zi -1, если они пересекаются, либо вдоль общего перпендикуляра к осям zi и zi -1 если они параллельны либо компланарны. В частности x 1 направим вдоль общего перпендикуляра к осям z 0 и z 1 поскольку они параллельны; x 2 направим вдоль общего перпендикуляра к осям z 1 и z 2 поскольку они параллельны; x 3 направим вдоль общего перпендикуляра к осям z 2 и z 3 поскольку они совпадают; Оси хi прорисовываем начиная от точек Нi с учетом их направлений.
5 Прорисовываем оси yi (i =1..4) так чтобы в совокупности с соответствующими осями хi и zi получить правосторонние декартовы системы координат.
6 Формируем систему координат технологического инструмента (x 6, y 6, z 6). Для этого направляем ось z 4 вдоль оси z 3, направляем ось x 4 вдоль общего перпендикуляра к осям z 3 и z 4, направляем ось y 4 так чтобы в совокупности с осями x 4 и z 4 получить правостороннюю декартову систему координат. В качестве точки Н 4 выбираем рабочую точку технологического инструмента от которой прорисовываем оси x 4, y 4, z 4.
3.1.3.2 Определение параметров звеньев и сочленений робота-манипулятора SCARA
1 Определяем расстояния между смежными звеньями di. Расстояние di это расстояние точки Нi -1 до точки пересечения оси zi -1 с осью xi, отсчитанное вдоль оси zi -1. В частности d 1 это расстояние от точки Н 0 до точки пересечения оси z 0 с осью x 1 отсчитанное вдоль оси z 0. Расстояние d 2 это расстояние от точки Н 1 до точки пересечения оси z 1 с осью x 2 отсчитанное вдоль оси z 1. В соответствии с рисунком 3.8 расстояние d 2=0. Расстояние d 3 это расстояние от точки Н 2 до точки пересечения оси z 2 с осью x 3 отсчитанное вдоль оси z 2. Расстояние d 3 является величиной переменной, поскольку третье сочленение манипулятора SCARA призматическое. Расстояние d 4 это расстояние от точки Н 3 до точки пересечения оси z 3 с осью x 4 отсчитанное вдоль оси z 3.
Рисунок 3.8-Схема и параметры Денавита-Хартенберга робота-манипулятора SCARA
2 Определяем углы поворота звеньев q i. Угол q i это угол на который нужно повернуть ось хi- 1 вокруг оси zi- 1 чтобы сонаправить ее с осью хi. Знак угла q i определяется по следующему правилу: если для совмещения осей хi- 1 и хi необходимо поворачивать ось хi- 1 по часовой стрелке то угол q i берется со знаком «минус», при условии что ось zi- 1 направлена к нам; если для совмещения осей хi- 1 и хi необходимо поворачивать ось хi- 1 против часовой стрелки то угол q i берется со знаком «плюс», при условии что ось zi- 1 направлена к нам. В частности q1 это угол на который нужно повернуть ось х 0 вокруг оси z 0 чтобы сонаправить ее с осью х 1. В соответствии с рисунком 2.24 угол q1=0°. Угол q2 это угол на который нужно повернуть ось х 1 вокруг оси z 1 чтобы сонаправить ее с осью х 2. В соответствии с рисунком 2.20 угол q2=0°. Угол q3 это угол на который нужно повернуть ось х 2 вокруг оси z 2 чтобы сонаправить ее с осью х 3. В соответствии с рисунком 2.20 угол q3=0°. Угол q4 это угол на который нужно повернуть ось х 3 вокруг оси z 3 чтобы сонаправить ее с осью х 4. В соответствии с рисунком 2.20 угол q4=90°. Указанные значения углов q i соответствуют так называемому положению механического нуля. Поскольку все сочленения робота, кроме третьего вращательные углы q1, q2,q4, могут меняется в некоторых пределах. Например для SCARA Fanuc SR 3 i A размах этих углов приведенв таблице 3.4.
3 Определяем расстояния a i между осями zi и zi- 1. Расстояние ai это расстояние между точкой Нi и точкой пересечения оси zi- 1 с осью хi отсчитанное вдоль оси хi. В частности а 1 это расстояние от точки Н 1 до точки пересечения оси z 0 с осью x 1 отсчитанное вдоль оси x 1 Расстояние a 2 это расстояние от точки Н 2 до точки пересечения оси z 1 с осью x 2 отсчитанное вдоль оси x 2. Расстояние a 3 это расстояние от точки Н 3 до точки пересечения оси z 2 с осью x 3 отсчитанное вдоль оси x 3. В соответствии с рисунком 3.8 расстояние a 3=0. Расстояние а 4 это расстояние от точки Н 4 до точки пересечения оси z 3 с осью x 4 отсчитанное вдоль оси x 4. В соответствии с рисунком 3.8 расстояние a 4=0.
4 Определяем углы между осями смежных звеньев a i. Угол a i это угол на который нужно повернуть ось zi- 1 вокруг оси xi чтобы сонаправить ее с осью zi. Знак угла a i определяется по следующему правилу: если для совмещения осей zi- 1 и z i необходимо поворачивать ось z i- 1 по часовой стрелке то угол a i берется со знаком «минус», при условии что ось xi направлена к нам; если для совмещения осей zi- 1 и z i необходимо поворачивать ось zi- 1 против часовой стрелки то угол a i берется со знаком «плюс», при условии что ось xi направлена к нам. В частности a1 это угол на который нужно повернуть ось z 0 вокруг оси x 1 чтобы сонаправить ее с осью z 1. В соответствии с рисунком 3.8 угол a1=180°. Угол a2 это угол на который нужно повернуть ось z 1 вокруг оси x 2 чтобы сонаправить ее с осью z 2. В соответствии с рисунком 3.8 угол a2=0°. Угол a3 это угол на который нужно повернуть ось z 2 вокруг оси x 3 чтобы сонаправить ее с осью z 3. В соответствии с рисунком 3.8 угол a3=0°. Угол a4 это угол на который нужно повернуть ось z 3 вокруг оси x 4 чтобы сонаправить ее с осью z 4. В соответствии с рисунком 3.8 угол a4=0°.
Параметры Денавита-Хартенберга для робота-манипулятора SCARA, полученные в соответствии с пунктами 1-4 сведем в таблицу 3.4.
Таблица 3.4 - Параметры Денавита-Хартенберга для робота-манипулятора SCARA (размах углов Dq i смещение D d 3 приведены по информационным данным робота SCARA Fanuc SR 3 i A)
| Звено | di, мм | q i, ° | ai, мм | a i, ° |
| 1 | d 1 (const) | q1=0 (var Dq1=142 °) | a 1 (const) | 180 (const) |
| 2 | d 2 (const) | q2=0 (var Dq2=145 °) | a 2 (const) | 90 (const) |
| 3 | d 3 (var D d 3=588 мм) | q3=0 (const) | 0 (const) | 0 (const) |
| 4 | 0 (const) | q4=90 (var Dq4=360 °) | 0 (const) | 0 (const) |
3.1.3.3 Формируем 4 матрицы однородных преобразований в соответствии с таблицей 3.4 и формулой (3.5)
, (3.14)
. (3.15)
. (3.16)
. (3.17)
3.1.3.4 Вычисляется матрица преобразования из 4-той системы координат в базовую систему координат 
по формуле (3.8):
, (3.18)
Таким образом, три первых элемента первого столбца матрицы (3.18) представляют собой координаты единичного вектора нормали к технологическому инструменту (nx, ny, n z), три первых элемента второго столбца матрицы (3.18) представляют собой координаты единичного касательного вектора к технологическому инструменту (sx, sy, sz); три первых элемента третьего столбца матрицы (3.18) представляют собой координаты вектора подхода технологического инструмента (nx, ny, nz). Соответственно координаты положения технологического инструмента равны
. (3.19)
Рисунок 3.9-Повернутая система координат
3.2 Матрицы поворота
Матрица поворота – это матрица размерностью 3´3 предназначенная для пересчёта координат вектора из повернутой системы координат O UVW в абсолютную систему координат O XYZ. Точку Р (рисунок 3.9) можно охарактеризовать координатами в абсолютной (неподвижной) системе координат O XYZ и в системе координат O UVW повернутой относительно O XYZ. В задачах робототехники часто возникает задача определения координат точки Р в абсолютной системе координат по известным координатам точки P в повернутой системе координат. Пример такой задачи приведен на рисунке 3.10. Точка Р в данном случае является рабочей точкой технологического инструмента и система координат связанная с этой точкой O UVW по повернута относительно базовой системы координат O XYZ.
Рисунок 3.10-Повернутая система координат связанная
с технологическим инструментом
Координаты точки Р могут быть записаны в виде векторов.
1 Координаты точки Р в абсолютной системе координат
или 
.
2 Координаты точки Р в повернутой системе координат
или 
.
Связь между векторами 
и 
определяется матрицей поворота R следующим образом
, (3.20)
и наоборот
. (3.21)
Формула (3.20) называется ортогональным преобразованием. Выделяют следующие виды матриц элементарных поворота.
1 Матрица поворота вокруг оси О Х на угол a (рисунок 3.11)
. (3.22)
Рисунок 3.11-Поворот системы координат относительно
оси Х на угол a
2 Матрица поворота вокруг оси О Y на угол j (рисунок 3.12)
. (3.23)
Рисунок 3.12-Поворот системы координат относительно
оси Y на угол j
2 Матрица поворота вокруг оси О Z на угол q (рисунок 3.13)
. (3.24)
Рисунок 3.13-Поворот системы координат относительно
оси Z на угол q
Рассмотрим примеры применения матриц поворота.
Пример 1. В повернутой системе координат O UVW задана точка 
, требуется определить координаты этой точки в абсолютной системе координат, если известно что O UVW повернута относительно О Z на угол 60°.
Решение. Используем формулы (3.20) и (3.24)
,
.
Пример 2. Известны координаты точки Р в абсолютной системе координат O XYZ 
, требуется определить координаты этой точки в системе координат O UVW повернутой относительно О Z на угол 60°.
Решение. Используем формулы (3.21) и (3.24)
.
.
Выполнение поворотов относительно нескольких осей выполняется с помощью, так называемых матриц сложных поворотов. Матрицы сложных поворотов получают путем перемножения соответствующих матриц элементарных поворотов (3.22)-(3.24). Выделяют следующие матрицы сложных поворотов.
1 Матрица поворота на угол a вокруг оси О Х, на угол q вокруг оси О Z, на угол j вокруг оси О Y
. (3.25)
2 Матрица поворота на угол j вокруг оси О Y, на угол q вокруг оси О Z, на угол a вокруг оси О Х
. (3.26)
3 Матрица поворота вокруг произвольной оси 
(рисунок 3.14).
. (3.27)
Рисунок 3.14-Поворот системы координат относительно
произвольной оси r на угол j
3.3 Матрицы однородных преобразований
Матрица однородного преобразования – это матрица размерностью 4´4 предназначенная для пересчёта координат вектора из повернутой и смещенной системы координат O UVW в абсолютную систему координат O XYZ.
Выделяют следующие виды матриц однородных преобразований.
1 Однородные матрицы элементарных поворотов:
Однородная матрица поворота вокруг оси О Х на угол a
. (3.28)
Однородная матрица поворота вокруг оси О Y на угол j
. (3.29)
Однородная матрица поворота вокруг оси О Z на угол q
. (3.30)
2 Однородная матрица элементарного сдвига абсолютной системы координат на [ dx dy dz ]T (рисунок 3.15)
. (3.31)
Рисунок 3.15-Сдвиг системы координат на [ dx dy dz ]T
3 Однородная матрица преобразования для перевода вектора Puvw в относительной системе координат в абсолютную систему координат О XYZ.
Pxyz = T Puvw.
Пример 3. Определить однородную матрицу преобразования задающую следующую последовательность преобразований.
1 Поворот на угол α вокруг оси О X;
2 Сдвиг на а единиц вдоль оси О Х;
3 Сдвиг на d единиц вдоль оси О Z;
4 Поворот на угол θ вокруг оси О Z.
Решение. Выполним перемножение однородных матриц в обратном порядке
. (3.32)
Если две системы координат связать со звеньями манипулятора, например с i и i -1, то система координат i -1 звена будет абсолютной, а система координат i звена будет подвижной (рисунок 3.16).
Рисунок 3.16- Повернутая и сдвинутая система координат и звенья
робота-манипулятора
Используя матрицу Т по известным координатам точки Рi неподвижной относительно i -того звена можно получить координаты этой же точки в системе координат (xi -1 yi -1; zi -1) связанной с i -тым звеном по формуле
Рi -1= TРi (3.33)
Pi –расширенный вектор положения pi =(xi yi zi 1)Т определяющий координаты точки в i -той системе координат. Рi -1=(хi -1 yi -1 zi -1, 1)T- расширенный вектор положения определяющий координаты точки i -1 системе координат.
3.4 Общая формулировка прямой задачи кинематики реализации и методика ее решения
Прямая задача кинематики для средств механизации и промышленных роботов формулируется следующим образом. По заданному вектору измеряемых параметров сочленений таких как углы в сочленениях либо поступательные перемещения в форме q i =[q1, q2, q3,…,q n ], где n – число степеней свободы получить соответствующую матрицу 0 Тn, описывающую положение и ориентацию технологического инструмента.
Методика решения прямой задачи кинематики включает следующие шаги:
1 Сформировать системы координат сочленений в соответствии с алгоритмом Денавита-Хартенберга.
2 Сформировать однородные матрицы преобразования, связывающие i и (i -1) системы координат, выполнив следующую последовательность операций:
2.1 Поворот вокруг оси Zi -1 на угол θ i таким образом, чтобы ось Хi -1 стала сонаправленной с осью Хi (сформировав матрицу Tzq).
2.2 Сдвиг вдоль оси Zi -1 на расстояние di так, чтобы совместить оси Хi -1 и Xi (сформировав матрицу Tzd).
2.3 Выполнить сдвиг вдоль оси Xi на расстояние ai, чтобы совместились начала координат(сформировав матрицу Txa)
2.4 Поворот вокруг оси Xi на угол α i, в результате которого достигается совпадение координат (сформировав матрицу Tx a)
2.5 Сформировать матрицы сложных преобразований путем перемножения матриц элементарных поворотов и сдвигов (п. 2.1 – 2.4)
i-1Ai = Tzd×Tz θ× Txa×Tx α. (3.34)
3 Сформировать матрицу положения и ориентации технологического инструмента 0 Тn путем перемножения соответствующих матриц сложного преобразования
0 Тn =0 A 1×1A2×2 A 3,…, n -1A n. (3.35)
Пример 4. Определить матрицу положения и ориентации технологического инструмента шестизвенного манипулятора PUMA (n =6).
Решение. В соответствии с формулой (3.35) матрица положения и ориентации технологического инструмента шестизвенного манипулятора PUMA имеет вид
0 Т 6=0 A 1×1A2×2 A 3× 3 A 4×4A5×5 A 6 (3.36)
3.5 Обратная задача кинематики промышленных роботов манипуляторов
Обратная задача кинематики для промышленных роботов манипуляторов формулируется следующим образом. По заданной матрице положения и ориентации технологического инструмента 0 Tn и известным параметрам его звеньев определить присоединенные параметры манипулятора q =(q 1, q 2,…, qn), обеспечивающие заданные матрицей 0 Tn положение и ориентацию технологического инструмента.
Выделяют следующие методы решения этой задачи:
1 Геометрический метод.
2 Метод обратных преобразований.
3 Метод численного решения уравнения кинематики манипулятора
Далее рассмотрим алгоритмы решения обратной задачи кинематики для промышленных роботов манипуляторов с использование перечисленных методов.
3.5.1 Геометрический метод решения обратной задачи кинематики для промышленных роботов манипуляторов
Метод основан на использовании соотношений между геометрическими характеристиками звеньев и сочленений робота-манипулятора. Общий алгоритм решения обратной задачи кинематики геометрическим методом для шестизвенного робота-манипулятора следующий:
1 Определяют все возможные индикаторы конфигурации манипулятора.
2 Геометрически вычисляют вектор, направленный от плеча к кисти манипулятора.
3 Вычисляют проекции этого вектора на плоскости (хi -1, yi -1) и на основе этих проекций вычисляются углы в первом, втором, третьем сочленениях манипулятора.
4 Используя решение для первых трех сочленений, матрицу 0 Tn и подматрицы 3 А 4, 4 А 5,5 А 6, а также проекции систем координат звеньев на плоскости (хi -1, yi -1) находят углы в последних трех сочленениях (кисть манипулятора).
Основным недостатком геометрического метода решения обратной задачи кинематики является сложность его обобщения на все виды манипуляторов.
Рисунок 3.17- Обратная задача кинематики плоского двухзвенного манипулятора в конфигурации «+»
Рисунок 3.18- Обратная задача кинематики плоского двухзвенного манипулятора в конфигурации «-»
Пример 5. Разберем методику геометрического решения обратной задачи кинематики на примере плоского двухзвенного манипулятора.
В данном случае обратная задача кинематики состоит в том, чтобы по известным координатам технологического инструмента (x 0, y 0) вычислить углы в сочленениях манипулятора θ1 и θ2, при которых технологический инструмент окажется в точке с координатами (x 0, y 0).
Известны координаты технологического инструмента (x 0, y 0) и длинны звеньев а 1 и а 2. Требуется определить углы поворота звеньев θ1 и θ2.
Решение. Как было показано ранее возможны две конфигурации плоского двухзвенного манипулятора «+» и «-» (рисунки 3.17, 3.18). Направим вектор r от базы манипулятора к технологическому инструменту 
. Тогда углы в сочленениях манипулятора равны:
q2=p-a - для конфигурации «+»,
q2=p+a - для конфигурации «-».
q1=atan2(y 0/ x 0)±b,
где углы a и b равны
, 
,
Функция atan2 применяется для вычисления значений угла q значения которого лежат в пределах -p≤q≤p с учетом принадлежности аргумента соответствующему квадранту и имеет вид
| 
|
| a) | б) |
Рисунок 3.18- Роботы-манипуляторы манипуляторы ASEA (а), MINIMOVER (б)
3.5.2 Метод обратных преобразований
Данный метод решения обратной задачи кинематики применяется для средств механизации, удовлетворяющих условиям Пайпера.
1 Оси трех смежных сочленений манипулятора пересекаются в одной точке (таким условиям удовлетворяют манипуляторы PUMA, KUKA, FANUC, Станфордский манипулятор)
2 Оси трех смежных сочленений параллельны между собой (таким условиям удовлетворяют манипуляторы ASEA, MINIMOVER, рисунок 3.19)
Общий алгоритм решения обратной задачи кинематики методом обратных преобразований для шестизвенного робота-манипулятора следующий:
1 Составить уравнение кинематики манипулятора в виде (3.36)
0 Т 6=0 A 1×1A2×2 A 3× 3 A 4×4A5×5 A 6,
Здесь матрица 0 Т 6 является функцией синусов и косинусов углов q1,…,q6. Приравнивая элементы матриц в левой и правой частях уравнения получаем 12 уравнений относительно неизвестных углов q1,…,q6. Решая эту систему для каждого из возможных значений индикатора конфигурации манипулятора находим значения q1,…,q6.
2. Для решения системы уравнений последовательно умножаем слева обе части уравнения (3.36) на матрицы обратных преобразований 0 A 1-1, 1 A 2-1,2 A 3-1, 3 A 4-1, 4 A 5-1, 5 A 6-1. Таким образом, последовательно переносим одну из неизвестных величин q1,…,q6 из правой в левую часть уравнения (3.36) и находим ее значение.
Основным достоинством метода обратных преобразований является возможность решать обратную задачу кинематики без рассмотрения ее геометрического смысла.
3.5.3 Метод численного решения обратной кинематики
Суть численного подхода заключается в численном решении следующего уравнения кинематики манипулятора
, (3.37)
где 
- угловые скорости в сочленениях манипулятора,
- вектор линейной скорости технологического инструмента, w- вектор угловой скорости технологического инструмента, J - якобиан манипулятора.
Поскольку уравнение (3.37) избыточно, т. е. число уравнений больше числа неизвестных, то при решении обратной задачи кинематики возможны несколько решений, одно из которых выбирается по заранее заданному критерию.
