Движения плоскости. Свойства движений. Аналитическое выражение движений. Виды движений плоскости

 Пусть Е ² – множество точек евклидовой плоскости.

Преобразование плоскости, сохраняющее расстояние между точками,  называется движением. Пусть под действием преобразования f точка А переходит в точку А ¢, В – в точку В ¢. Преобразование f  – движение, если

 или .                         (1)

Из определения движения следует, что любое движение сохраняет отношение «лежать между» для трех точек прямой. Как известно, точка С лежит между точками А и В тогда и только тогда, когда

.                         (2)

Если А ¢, В ¢, С ¢ – образы точек А, В, С при движении, то из (1) и (2) следует

.

Так как движение сохраняет отношение «лежать между», то справедливы следующие свойства движений плоскости:

1) Движение переводит прямую в прямую, параллельные прямые – в параллельные прямые.

2) Движение сохраняет простое отношение трех точек прямой.

3) Движение переводит отрезок АВ в отрезок в отрезок А ¢ В ¢, где А ¢, В ¢– образы точек А и В.

4) Движение переводит полуплоскость с границей a в полуплоскость с границей а ¢, где а ¢ – образ прямой а.

5) Движение переводит луч в луч, а угол – в равный ему угол.

6) Движение переводит репер в репер, в частности ортонормированный репер, в ортонормированный репер.

7) Пусть R и R ¢ – произвольные ортонормированные реперы. Тогда существует единственное движение, которое репер R переводит в репер R ¢. При этом любая точка М с данными координатами в репере R переходит в точку M ¢ с такими же координатами в репере R ¢.

Рассмотрим основные виды движений.

1) Пусть на плоскости задан ненулевой вектор , тогда каждой точке M можно поставить в соответствие точку М ¢ такую, что . Мы получаем преобразование , называемое параллельным переносом на вектор . Покажем, что параллельный перенос является движением, т.е. сохраняет расстояние между точками. Пусть даны две точки М и N, и , . Тогда по определению параллельного переноса имеем: , . Векторы  и  равны, следовательно, ||  и = . Значит, фигура MM¢N¢N – параллелограмм. Откуда следует, что M¢N¢=MN.

2) Пусть на плоскости дана точка О и направленный угол α. Определим отображение  следующим образом: Точке М, отличной от точки О, поставим в соответствие точку М¢ так, чтобы ОМ=ОМ¢ и Ð МОМ¢= α, а точке О поставим в соответствие эту же точку. Это отображение называется поворотом (или вращением) плоскости вокруг точки О на угол α. Точка О называется центром поворота, величина угла α – углом поворота. Если α =0, то поворот является тождественным преобразованием, если α =180°, то поворот является центральной симметрией. Покажем, что поворот является движением плоскости.

Пусть даны две точки М и N. Точки M¢ и N¢– образы точек М и N: ОМ=ОМ¢, Ð МОМ¢= α и ОN=ОN¢, Ð NОN¢= α. Т.к. Ð МОN= α– Ð NОМ¢= Ð М¢ОN¢, то  по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, МN=М¢N¢, что и требовалось доказать.

3) Возьмем на плоскости некоторую прямую l и каждой точке M поставим в соответствие точку М¢, симметричную точке М относительно прямой l, т.е. ММ¢ ^ l, r (M, l) = r(M¢, l). Каждая точка прямой l симметрична самой себе. Мы получаем преобразование плоскости , которое называется осевой симметрией или отражением от прямой l. Осевая симметрия также является движением (доказать самостоятельно).

4) Композиция осевой симметрии и параллельного переноса на вектор, параллельный оси симметрии, называется скользящей симметрией.

Говорят, что движение сохраняет ориентацию плоскости (меняет ориентацию плоскости), если любой репер и его образ одинаково ориентированы (противоположно ориентированы). В первом случае движение называется движением первого рода, а во втором случае – движением второго рода.

Пусть  - ортонормированный репер, – произвольная точка плоскости, – образ точки М при движении f. Обозначим координаты точки  репере R: . Выразим x ¢, y ¢ через x и y, т.е. найдем аналитическое выражение движения f репере R. Рассмотрим репер , являющийся образом репера R при движении f. Так ка движение f  дано, то мы предполагаем, что репер R задан, т.е. известны координаты точки O ¢  и известен направленный угол . По свойству 7 точка  имеет координаты  в репере R ¢. Следовательно, задача сводится к задаче преобразования прямоугольной декартовой системы координат: точка   в старом репере R  имеет координаты , а в новом репере R ¢– координаты .

Если движение  f  является движением первого рода, то реперы   R и R ¢ одинаково ориентированы. Применим формулы преобразования прямоугольной декартовой системы координат, получим:

                              (3)

Если движение f  является движением второго рода, то реперы   R и R ¢ противоположно ориентированы, поэтому искомые формулы имеют вид:

                            (4)

Формулы (3) и (4) можно объединить

                          (5)

где e= 1, если f –движение первого рода, e=– 1, если f – движение второго рода. Формулы (5) – аналитическое выражение движения.

Можно показать, что параллельный перенос и поворот вокруг точки являются движениями первого рода, а осевая симметрия – движением второго рода.

Точка плоскости называется инвариантной точкой преобразования, если она переходит в себя при действии этого преобразования. Прямую назовем инвариантной прямой преобразования, если любая точка этой прямой переходит в точку, принадлежащую этой прямой. Если каждая точка некоторой прямой является инвариантной, то такую прямую называют прямой инвариантных точек.